作业题

21.25　考虑一美式看跌期权，期权持有者有权在1年末以每瑞士法郎0.80美元的价格卖出瑞士法郎。瑞士法郎汇率的波动率为每年10%，美元的无风险利率为6%，瑞士法郎的无风险利率为3%，当前的汇率为0.81。采用3步二叉树给这一期权定价。利用你所构造的树形估计期权的Delta。

21.26　白银期货上1年期的美式看跌期权执行价格为9美元。期货的当前价格为8.50美元，无风险利率为每年12%，期货波动率为每年25%。采用DerivaGem软件，并以步长为3个月的4步二叉树对期权定价。显示树形结果并验证最后一步与倒数第2步结点上期权价格的正确性。采用DerivaGem对相应的欧式期权定价，并采用控制变量技巧来改善美式期权价格的精度。

21.27　6个月期限美式看涨期权的标的股票将在第2个月末与第5个月末支付每股1美元的股息。股票的当前价格为30美元，执行价格为34美元，无风险利率为每年10%。对于除去股息的股票部分波动率为每年30%。采用DerivaGem软件，将期权期限分为100个时间区间来估计期权价格。将你的答案与布莱克近似模型（见15.12节）进行比较。

21.28　假定1英镑的当前价格为1.60美元，汇率波动率为15%，一个关于英镑上的美式看涨期权执行价格为1.62美元，期限为1年。美国和英国的无风险利率分别为每年6%及每年9%。采用显式有限差分法对期权定价。在定价中，在汇率0.80与2.40之间选用0.20的汇率间隔，时间间隔为3个月。

21.29　当采用21.4节给出的另外一种构造树形结构的方法来对期权定价时：

（a）在21.4节里给出的二叉树与股票价格的对数在Δt时间段变化的均值和方差一致。

（b）证明当Δt²等高阶项被忽略时，21.4节中给出的三叉树与股票价格的对数在Δt时间区间里的变化均值和方差一致。

（c）采用21.4节里的另一种方式来构造三叉树，在每个节点上，股票价格上升、取中间值、下降的概率分别为1/6、2/3、1/6，假定价格由S分别可以变化为Su、Sm、Sd，其中m²=ud。在构造树形结构时，使股票价格对数变化的均值和方差被得以匹配。

21.30　利用软件DerivaGem的Application Builder功能检验由二叉树所得出的期权结果在步数增大时趋向于真解的收敛性（见图21-4和DerivaGem的Sample Application A）。考虑关于某股指上的看跌期权，股值取值为900，执行价格为900，无风险利率为5%，股指股息收益率为2%，期限为2年。

（a）对于欧式期权和波动率等于20%的情形，生成类似于Sample Application A中关于收敛性的结果。

（b）对于美式期权和波动率等于20%的情形，生成类似于Sample Application A中关于收敛性的结果。

（c）波动率等于20%，采用控制变量技巧，画出美式期权价格与二叉树步数之间函数关系的图形。

（d）假定美式期权的市场价格为85.0。画出由二叉树估计的隐含波动率与二叉树步数之间函数关系的图形。

21.31　从例21-3的树形上估计Delta、Gamma和Theta。解释如何理解这些参数。

21.32　在例21-4中，在第9个月最下面的节点上提前行使期权的是多少？

21.33　利用4步CRR（Cox-Ross-Rubinstein）二叉树来对关于某指数的一年期看跌期权进行定价，指数当前值为500，期权执行价格为500，指数收益率为2%，无风险利率为5%，指数波动率为每年25%。期权的价格、Delta、Gamma和Theta分别为多少？解释如何计算Vega和Rho。