小结

对于不存在解析解的衍生产品，我们列举了计算其价格的3种数值方法，包括树形法、蒙特卡罗模拟和有限差分法。

在二叉树法中，我们假设在每个很小时间区间Δt内，股票价格或按比例u上升，或按比率d下降。在选择u和d以及它们所对应的概率时，我们保证在风险中性世界里股票价格的变化具有正确的期望值和标准差。衍生产品的价格可以从二叉树的末端开始倒退计算得出。对于美式期权，在每个节点上的价格等于以下数值中的最大值：（a）期权被立即行使后的价格，（b）期权被再持有Δt时间的价格期望值的贴现。

蒙特卡罗模拟是利用随机数来对衍生产品标的变量在风险中性世界里的不同路径进行模拟。对于每一条路径，我们均可以得出衍生产品收益的贴现值，其算术平均即为衍生产品价格的近似值。

有限差分法是将衍生产品价格所满足的微分方程转换为差分方程后再来求解。类似于树形法，计算衍生产品的价格从期限的最后时刻开始再倒推到期限的初始时刻。显式法在功能上与三叉树等价，隐式有限差分比显式有限差分更为复杂，但其优点是用户不需要为取得收敛性而进行任何特殊处理。

在实际中，选择哪种方法取决于被估价的衍生产品的特性，以及用户对所得数值解的精确度要求。蒙特卡罗模拟从衍生产品的期限开始运作到期限的结束。蒙特卡罗法一般只适用于欧式期权定价，但也能用来处理复杂的收益形式。当标的资产数量增加时，这一方法的相对效率较高。树形法和有限差分法的计算由期限的末端开始，倒退到期限的开始，而且这两个方法均既可用于欧式期权，也可用于美式期权。但对于最终的收益既依赖于标的变量历史值也依赖于当前值的情形，应用树形法和有限差分法会很困难。并且当衍生产品包括3个或更多的标的变量时，树形法和有限差分法的计算量会很大。