21.5　参数依赖于时间

到目前为止，我们一直假定r、q、r_f和σ均为常数。在实际中往往假设这些参数与时间有关。在时间t与t+Δt之间，一般假设这些参数等于其远期价值。^[1]

在CRR二叉树上，为了使r和q（或r_f）成为时间的函数，在时间t节点上令

其中f（t）为介于t与t+Δt之间的远期利率，g（t）为q介于t与t+Δt之间的远期值。因为u和d与a无关，所以这样的假设并不改变二叉树的形状。从时刻t结点上所生出树叉的概率为^[2]

二叉树方法中的其他步骤和前面介绍的一样，唯一不同之处是在t到t+Δt贴现时要用f（t）。

当σ为时间函数时，建立二叉树会比较困难。假设σ（t）是用来对期限为t的期权定价时所用的波动率，一种方法是使时间步长与时间区间内的平均方差率成反比。这时在树形上u和d保持不变，从而保证了树形的再重合。定义V=σ（T）²T，其中T为树形的期限。定义t_i为第i步末所对应的时间。树形共有N步，我们可以选择t_i而保证σ（t_i）²t_i=iV/N，并令，d=1/u，p由u、d、r和q来表达，其表达形式类似于常数波动率的情形。这里的计算过程可以与处理非常数利率的过程并用，以此我们可以建立利率和波动率均不为常数的二叉树。

[1] 远期收益率和远期方差率的计算方式与远期利率类似（方差率为波动率的平方）。

[2] 对于足够多的时间步数，这些概率永远为正。