19.13　资产组合保险

投资组合的管理人常常会想获取所其管理投资组合上的看跌期权。在市场下跌时，看跌期权会对投资组合提供保护，而在市场上涨时，投资组合仍有潜在的上涨空间。一种做法（在17.1节里曾有过讨论）是买入像标普500这样的股指看跌期权，而另外一种做法则是以合成的方式构造期权。

按合成的方式构造期权需要持有一定数量的标的资产（或标的资产的期货），所持资产头寸的Delta应当与所需期权头寸的Delta相同。构造合成期权所需的头寸与对冲该期权所需要的头寸刚好相反，这是因为对期权的对冲过程涉及了构造一个相同但具有相反头寸的合成期权。

对投资组合管理人而言，有两种原因可能会使构造合成看跌期权比在市场上买入期权更有吸引力。第1个原因是期权市场可能不具备足够大的流通性来提供大型基金经理所需要的产品，第2个原因是基金经理所需要期权的执行价格和到期日与交易所里的期权不同。

合成期权可以通过交易投资组合或交易指数期货合约来完成。我们首先描述如何由交易投资组合来构成一个看跌期权。由表19-6得出，投资组合欧式看跌期权的Delta为

与通常一样

S₀为投资组合价格，K为执行价格，r为无风险利率，q为投资组合的股息收益率，σ为投资组合价格波动率，T为期权期限。组合的波动率通常假设为其Beta乘以一个风险充分扩散的市场指数的波动率。

为了以合成的方式构造看跌期权，基金经理在任意给定时刻所卖出股票占原投资组合的比例为

基金经理在卖出股票后将所得资金投入无风险资产。当原投资组合价值下跌时，由式（19-8）给出的看跌期权的Delta会变得越来越负，因此投资组合卖出的份额必须增加；当原投资组合的价值上涨时，看跌期权变负的程度会有所减少，因此投资组合卖出的份额要减少（即需购回原投资组合的一部分）。

采用这种策略来构造投资组合保险意味着在任意给定时刻，基金被分为两部分，一部分基金为需要为其提供保险的股票组合，另一部分为无风险资产。当股票组合价格上涨时，无风险资产要被变卖，股票组合头寸会有所增大；当股票价格下跌时，股票组合头寸要被减小，无风险资产要被买回。保险的成本是由于证券管理人买高卖低而造成的。

例19-9

一投资组合价值为9000万美元。为了在市场下滑时对投资组合提供保护，投资组合经理需要持有一个执行价格为8700万美元，期限为6个月的看跌期权。这里无风险利率为每年9%，股息收益率为每年3%，波动率为每年25%，标普500股指的当前价格为900。投资组合的结构很接近标普500，因此投资组合经理的一种做法是买入1000份标普500上执行价格为870的看跌期权（17.1节）。另外一种做法则是构造合成期权。这里，S₀=9000万，K=8700万，r=0.09，q=0.03，σ=0.25，T=0.5，因此

初始时刻所需期权Delta为

这说明，在最初要卖出32.15%的投资组合来匹配所需期权的Delta。卖出证券的收入将被投资于无风险资产上。应该经常调整需要卖出投资组合的数量。例如，如果在1天后投资组合价值下跌到8800万美元，这时所需期权的Delta变为-0.3679，因此需要再卖出原来投资组合的4.64%，并将所得收入投资于无风险资产上。如果交易组合价值增至9200万美元，所需期权的Delta变为-0.2787，这时应买回原投资组合的4.28%。

利用指数期货

我们也可以利用指数期货来构造合成期权，而且这种做法有时比利用标的股票来构造合成期权更受欢迎，这是因为交易股指期货的费用要比交易相应标的资产的费用更低。由式（19-6）和式（19-8）可以得出，指数期货合约空头的金额占投资组合价值的比例应为

其中T^*为期货的到期日。如果投资组合价值等于A₁乘以指数，指数期货的规模等于A₂乘以指数，那么在任意时刻所持指数期货合约空头的数量为

例19-10

假设在前一个例子中我们采用9个月期的标普500期货来构造合成期权，这时T=0.5，T^*=0.75，A₁=100000，d₁=0.4499，每个股指期货是关于股指的250倍，因此A₂=250，最终需要期货合约空头的数量为

即123（近似到最近的整数）。随着时间推移与指数的变化，期货的头寸要随时加以调整。

在这里的分析中，我们假定投资组合的收益与指数一样。当实际情况不是这样时，我们需要（a）计算资产组合的Beta，（b）计算提供保护所需的股指期权头寸数量，（c）选择股指期货头寸来构造合成期权。如17.1节所述，期权的执行价格应等于投资组合价格达到保险水平时所对应的市场指数的预期水平。所需指数期权的数量等于投资组合的β乘以在投资组合β值为1时所对应的期权数量。