17.4　欧式股指期权的定价

在第5章里对股指期货定价时，我们曾假设可以将股指看作支付已知股息收益率的股票。在对股指期权定价时，我们也可以采用类似的假设。这意味着不等式式（17-1）与式（17-2）提供了关于欧式股指期权的下限；式（17-3）是关于欧式股指期权的看跌-看涨期权平价关系式；式（17-4）和式（17-5）可用来对欧式股指期权定价；二叉树可以用来对美式期权定价。在所有情形下，S₀等于当前股指价格，σ为股指的波动率，q为期权有效期内股息的平均年收益率。

例17-1

考虑一个标普500指数上的欧式看涨期权，期权期限为2个月，股指的当前值为930，执行价格为900，无风险利率为每年8%，波动率为每年20%。在第1个月与第2个月内预计股指将分别支付收益率为0.2%和0.3%的股息。这时S₀=930，K=900，r=0.08，σ=0.2，T=2/12。在期权期限内的总股息率为0.2%＋0.3%=0.5%，所对应的年股息率为6×0.5%=3%，因此q=0.03和

因此由式（17-4）给出的看涨期权价格c为

1份合约的价值为5183美元。

在计算q时，我们应该只考虑除息日在期权有效期内的股息。在美国，股票除息日往往是在2月份、5月份、8月份和11月份的第1周，因此在任意给定时刻，q往往会同期权的期限有关。对于其他国家的股票指数，情况更是如此。例如，日本所有公司往往都采用同一个除息日。

如果我们假设股指中所含股息的绝对数量（而不是连续收益率）是已知的，我们可以采用标准布莱克-斯科尔斯-默顿公式，这时只需在初始股票价格中除去股息的贴现值。在第15章里对提供已知股息的股票期权定价时，我们曾推荐了这一方法，但这一方法可能很难适用于一个包含许多股票的股指，这是因为在计算过程中我们将会需要股指所含股票的所有股息信息。

有时人们会认为从长远来讲，一个股票组合的收益肯定会好过一个具有同样初始价值的债券组合收益。如果真是这样的话，那么一个有权将股指卖出价等于债券组合价格的长期限看跌期权会非常便宜。但事实上，就像业界事例17-1指出的那样，这种看跌期权的价格却非常昂贵。

业界事例17-1　我们是否可以保证从长远来讲股票收益一定优于债券的收益

人们常说，长线投资者应该购买股票而不是债券。考虑某个美国基金经理，他试图说服那些作为长线投资的人应当购买一个模拟标普500指数的股票基金。该投资经理可能向投资者保证其基金在今后10年内的收益至少要好过无风险债券的收益率。由历史数据来看，在美国几乎在每个10年时间段内股票收益都要好过债券收益。似乎看来基金经理的承诺不太值钱。

事实上，这种承诺会是惊人的昂贵。假定股指今天的值为1000，股息收益率为每年1%，股指波动率为15%，10年的无风险利率为每年5%。要想比债券投资绩效好的话，股指每年的收益要高于5%。因为股息收益率为1%，因此资本收益增长率至少为4%，这意味着10年后的股指水平至少为1000e^0.04×10=1492。

基金经理在这里对标普500上的1000美元投资进行保证，保证投资的收益高于债券收益，该基金经理的保证等于一个10年期限执行价格为1492的看跌期权。这一看跌期权可由式（17-5）来定价：在计算中输入的参数为S₀=1000，K=1492，r=5%，σ=15%，T=10，q=1%，看跌期权价格为169.7。这说明基金经理所做出的承诺等于股指基金价格的17%，这种承诺显然是不能随便免费给出的。

17.4.1　远期价格

定义F₀为股指在时间T到期的远期价格。如式（5-3）所示，F₀=S₀e^（r－q）T。这意味着式（17-4）和式（17-5）中的欧式看涨期权价格c和欧式看跌期权价格p为

其中

看跌-看涨期权平价关系式式（17-3）变为

或

对于某一特定期限，如果具有同样执行价格的看涨和看跌期权交易很活跃的话（在交易所市场上这一现象并非罕见），我们可以采用这个关系式来估计对应于这一期限的股指远期价格。一旦取得了对于一系列期限的远期价格后，我们可以估计远期价格的期限结构，对于其他的期权，我们可以采用式（17-8）和式（17-9）来进行定价。以上做法的优点是在定价过程中我们不需要明确估计股指的股息收益率。

17.4.2　隐含股息收益率

如果需要估计股息收益率（例如，对美式期权进行定价时），我们可以利用具有等同执行价格与等同期限的看涨期权和看跌期权来进行计算，由式（17-3）得出

对于一个特定的执行价格和期限，由以上表达式估计的q不一定可靠，但如果将许多配对的看涨和看跌期权汇集到一起，我们将可以得出一个有关市场上对于其股息收益率结构所做假设的清晰图像。