第15章　布莱克-斯科尔斯-默顿模型

在20世纪70年代初，费希尔·布莱克（Fisher Black）、迈伦·斯科尔斯（Myron Scholes）和罗伯特·默顿（Robert Merton）在对欧式股票期权定价上取得了重大突破，^[1]他们发展了被称为“布莱克-斯科尔斯”（Black-Scholes）或“布莱克-斯科尔斯-默顿”（Black-Scholes-Merton）的模型。该模型对于交易员如何对期权定价与对冲都产生了重大影响。在1997年迈伦·斯科尔斯与罗伯特·默顿荣获了诺贝尔经济学奖，这充分说明了这一模型的重要性。不幸的是费希尔·布莱克在1995年去世，否则，毫无疑问他也会成为这项诺贝尔奖的得主之一。

布莱克、斯科尔斯和默顿是如何取得突破的呢？在他们之前，研究人员也做了类似的假设，并且正确地计算了欧式期权的期望收益，但是如13.2节所述，选取正确的贴现率是很困难的。布莱克和斯科尔斯利用资本资产定价模型（见第3章附录）确定了市场对期权所要求的收益与对股票所要求的收益之间的关系。由于这种关系既依赖于股票价格又依赖于时间，所以这样做并不容易。默顿的处理方式与布莱克和斯科尔斯不同，他的方法涉及由期权与标的股票组成的无风险组合，因而在一个很短的时间区间内，组合的回报率必须是无风险利率。这与我们在13.1节里的讲述是类似的，但是要更为复杂，这是因为股票的价格是随时间连续变化的。默顿的方法比布莱克和斯科尔斯更为一般，这是因为这种方法不依赖于资本资产定价模型的假设。

在这一章里我们将按默顿的方法推导布莱克-斯科尔斯-默顿模型，并且解释如何利用模型从历史数据估计波动率或由期权价格计算隐含波动率。本章还将说明如何使用在第13章中引进的风险中性定价方法，以及如何推广布莱克-斯科尔斯-默顿模型为支付股息的股票期权（包括美式期权）定价。

[1] 见F.Black and M.Scholes，“The Pricing of Options and Corporate Liabilities，”Journal of Political Economy，81（May/June 1973）：637-59；R.C.Merton，“Theory of Rational Option Pricing，”Bell Journal of Economics and Management Science，4（Spring 1973）：141-83.