练习题

14.1　如果我们说一个地区的温度服从马尔科夫过程，这里的含义是什么？你认为温度确实可以服从马尔科夫过程吗？

14.2　基于股票价格历史数据的交易策略的收益是否会总是高于平均收益？讨论这一问题。

14.3　假定一家公司的现金头寸（用百万美元来计）服从广义维纳过程，现金头寸的漂移率为每季度0.5，方差率为每季度4.0。公司的初始现金头寸要多高才能使得其在1年后的现金流为负值的概率小于5%。

14.4　变量X₁和X₂服从广义维纳过程，漂移率分别为μ₁和μ₂，方差率分别为。在以下条件下，X₁+X₂服从什么样的过程。

（a）X₁和X₂在任何小的时间区间内的变化相互无关。

（b）X₁和X₂在任何小的时间区间内变化的相关系数为ρ。

14.5　考虑服从以下过程的变量S

dS=μdt+σdz

在最初的3年中，μ=2，σ=3；在接下的3年中，μ=3，σ=4。如果变量的初始值为5，变量在第6年年末的概率分布是什么？

14.6　假设G为股票价格和时间的函数，σ_S和σ_G分别为S和G的波动率。证明当S的收益期望增加λσ_S时，G的收益期望将会增加λσ_G，这里的λ为常数。

14.7　股票A和股票B均服从几何布朗运动，并且在任何短时段内两者的变化相互无关。由一只股票A和一只股票B所构成的证券组合的价值是否服从几何布朗运动？解释原因。

14.8　式（14-8）中的股票价格过程可以写成

其中μ和σ为常数。仔细解释以上模型与以下所列举各个模型之间的差别

为什么式（14-8）中模型比以上3种模型更适合用来描述股票价格的变化？

14.9　以下过程常被用来描述短期利率r随时间的变化

其中a，b，c为正常数，dz为维纳过程。描述这一过程的特性。

14.10　假定股票价格S服从几何布朗运动

其中μ为收益率的期望，σ为波动率。变量Sⁿ服从什么过程？证明Sⁿ也服从几何布朗运动。

14.11　假定x为在T时刻支付1美元的无券息债券的收益率（按连续复利）。假定x服从以下随机过程

其中a，x₀和s均为正常数，dz为维纳过程。债券价格服从的过程是什么？

14.12　某股票的价格是30美元，收益率期望是9%，波动率是20%。在Excel计算表中模拟在未来5年中价格变化的路径，要求步长取为1个月，并且从正态分布中取样。以图形来表示股票价格的路径。点击F9，观察当随机样本变化时路径的变化。