13.11　其他标的资产上的期权

在第10章里我们介绍了股指期权、货币期权和期货期权，在第17章和18章中我们还要进一步讨论这些期权。事实上，我们可以采用几乎和构造股票期权一样的方法来构造二叉树，唯一的变化是对概率p的计算有所改变。像对于股票期权定价时那样，我们仍采用式（13-2），即每一个节点上的期权价值（在提前行使期权的可能性被考虑之前）等于p乘以股票价格上涨时所对应的期权价值加上1-p乘以股票价格下跌所对应的期权价值，并以无风险利率进行贴现。

13.11.1　支付连续股息收益率股票的期权

考虑一个支付连续股息收益率q的股票。在风险中性世界里股息加上资产收益（capital gain）的总和等于r，股息收益为q，因此资本收益率为r－q。如果股票在今天的价格为S₀，步长为Δt，第一步后股票的期望值必须为S₀e^{（r－q）Δt}，因此

即

与计算无股息股票期权类似，我们将u设为，d=1/u以便使树形与波动率相吻合。这意味着我们可以利用式（13-15）~式（13-18），而计算中唯一的改动是将a=e^rΔt改为a=e^{（r－q）Δt}。

13.11.2　股指期权

在第5章中计算股指期货价格时，我们曾假设股指中的标的股票所支付的股息收益率为q，在这里我们仍采用类似的假设。对于股指期权定价类似于对支付已知连续股息率的股票期权定价。

例13-1

某股指的目前水平为810，波动率为20%，股息收益率为2%，无风险利率为5%。图13-11显示了DerivaGem对于一个执行价格为800，期权为6个月的欧式看涨期权定价结果。

图13-11　利用二步二叉树对股指上6个月期限的欧式看涨期权定价，目前的股指水平为810，执行价格是800，无风险利率是5%，波动率是20%，股息率是2%

在计算中采用了两步二叉树。这时

期权价值为53.39。

13.11.3　货币期权

如5.10节所示，外汇可以被视为提供收益率等于外币无风险利率r_f的资产。同股指相比较，我们可以采用式（13-15）~式（13-18）并令来对货币期权进行定价。

例13-2

1澳元的当前价值为0.6100美元，汇率波动率为12%，澳元的无风险利率为7%，美元无风险利率为5%。图13-12显示了DerivaGem对于一个执行价格为0.6000，期限为3个月美式看涨期权的定价结果，在计算中采用了三步二叉树。

图13-12　利用三步二叉树模型来对一个3个月期限的货币看涨期权定价。汇率当前价值为0.6100，执行价格为0.6000，无风险利率为5%，波动率为12%，外国无风险利率为7%

这时

期权价值为0.019。

13.11.4　期货期权

进入期货合约的多头或空头时投资者无须支付任何费用。这说明在风险中性世界里期货价格的增长率期望应当为0（在18.7节中我们将详细讨论这一点）。同上，我们定义p为期货价格上涨的概率，u为价格上涨的比例，d为价格下跌的比例。在开始时期货价格为F₀。在第1步Δt时间后，期货价格的期望值仍然应当是F₀。这意味着

即

我们可利用式（13-15）~式（13-18）以及a=1来对期权进行定价。

例13-3　期货期权

当前的期货价格为31，波动率为30%，无风险利率为5%。图13-13显示了由DerivaGem对于一个执行价格为30，期限为9个月的美式看跌期权的定价结果，计算中采用了三步二叉树。这时

期权价值为2.84。

图13-13　采用3步二叉树模型来对一个9个月期限的期货美式看跌期权定价。期货当前价格为31，执行价格为30，波动率为30%，无风险利率为5%