5.5　提供已知中间收入的资产

在这一节里，我们考虑当资产给持有者提供完全可以预测的收入时的远期价格。这样的例子包括提供已知股息的股票以及带券息债券。我们采取与上节相似的方式首先考虑数值例子，然后再进行正式讨论。

考虑一个买入当前价格为900美元的带息债券远期合约的多头。假定远期合约的期限为9个月。我们假定在4个月后将有40美元的券息付款，并且假定4个月期和9个月期的无风险利率（连续复利）分别是3%和4%。

首先假定远期价格比较高，为910美元。一个套利者可以借入900美元来买入债券，并且进入远期合约的空头。券息的现值为40e^-0.03×4/12=39.60美元。在900美元的价格中，其中有39.60美元所对应的利率为每年3%，期限为4个月，而这笔资金在4个月时可用券息来偿还，其他部分资金（即860.40美元）所对应的利率为9个月期的利率。这笔资金在9个月后变为860.40e^0.04×0.75=886.60美元。按照远期合约条款，套利者在远期合约中卖出证券可以收入910美元，因此盈利为

接下来假定远期价格相对较低，为870美元。一个套利者可以卖空债券并同时进入远期合约的多头。在卖空交易所得的900美元资金中，将其中39.60美元以3%的利率投资4个月，在4个月时这笔资金足以偿还债券的券息。剩余的860.40美元以4%投资9个月，在到期时这笔资金变为886.70美元。根据远期合约，投资者能够以870美元买入债券，然后将卖空交易进行平仓，投资者的收入为

表5-3总结了以上两种套利策略。^[1]第1个策略在远期价格大于886.60美元时会产生套利盈利，第2个策略在远期价格小于886.60美元时会产生套利盈利。因此，在没有套利机会的情况下，远期价格必须为886.60美元。

表5-3　一个9个月期远期价格与即期价格脱节所产生的套利机会。这里的资产提供已知现金收入（资产价格为900美元；在4个月时的中间收入为40美元；4个月期和9个月期的利率分别为每年3%和4%）

推广

我们可以将以上例子推广，当投资资产在远期合约期限内提供的收入贴现值为I时，我们有以下关系式

在我们的例子中，S₀=900.00，I=40e^-0.03×4/12=39.60，r=0.04和T=0.75，因此

这与我们以上的计算结果一致。式（5-2）适用于任何提供已知收入的投资资产。

如果F₀>（S₀-I）e^rT，套利者可以买入资产并且进入远期合约的空头来取得盈利；如果F₀<（S₀-I）e^rT；一个套利者可以卖空资产并且进入远期合约的多头来获得盈利。如果不能卖空交易，拥有资产的投资者可以卖出资产，并同时进入远期合约的多头来获得盈利。（注：还有另一种证明式（5-2）的方法。我们考虑以下策略：买入1份资产并且进入远期合约的空头，在远期合约中，在时刻T以F₀价格卖出资产，这一交易成本为S₀。在将来时刻T的现金流入为F₀，并在将来流入的现金流的贴现值为I。最初的现金流出S₀。所有的流入现金流的贴现值为I+F₀e^-rT，因此S₀=I+F₀e^-rT，其等价形式为F₀=（S₀-I）e^rT。）

例5-2

考虑某股票上10个月期限的远期价格，股票的当前价格为50美元。我们假定对于所有期限，按连续复利的无风险利率为8%。我们还假定在3个月、6个月、9个月后股票会各支付0.75美元的股息。股息的现值I为

T为10个月，因此式（5-2）中的远期价格F₀为

如果远期价格小于以上价格，套利者能够以即期价格卖空股票并且进入远期合约多头。如果远期价格大于以上价格，套利者可以进入远期合约的空头并且以即期价格买入股票。

[1] 如果债券不允许卖空，拥有债券的投资者可以卖出债券并同时进入远期合约的多头，这样做以后投资者可以得到额外利润16.60美元。这一点与之前章节所描述的黄金交易策略类似。