三、经典逻辑不能完全证成自身

下面仅概括性地证明，即使是得到最广泛接受和认可的经典逻辑，也不能完全证成（justify）它自身，其理由如下：

（1）经典逻辑是建立在许多基本原则或假定之上的，而这些原则或假定本身可以受到挑战，而且已经受到挑战。

我曾多次指出，经典逻辑至少是建立在下述基本原则或假定之上的：

（i）外延原则，即它在处理语词、语句时，只考虑它们的外延，并认为语词的外延是它所指称的对象，语句的外延是它所具有的真值，如果在某一复合语句中用具有同样指称但有不同涵义的语词或语句去替换另一个语词或子语句，该复合语句的真值保持不变。

（ii）二值原则，即任一命题或者为真或者为假，没有任何命题不具有真假值，也没有任何命题具有除真假之外的其他值。这就是说，在一阶逻辑中不存在真值空白或真值间隙。二值原则是古典的矛盾律和排中律的结合，后两者一起刻画了传统的真概念。

（iii）存在假定，即它的个体域非空，量词毫无例外地具有存在含义，并且单称词项总是指称个体域中的某个个体。如果语句和论证中出现了无所指的空词项，则人为地给它们指定外延：空集合。这是为了确保经典逻辑中的语句有且仅有一个真值：真或者假。

（iv）由假得全原则，指经典逻辑的定理A∧﹁A→B，意思是从逻辑矛盾推出任一命题。它有时也被称为“扩展律”或“爆炸律”：不一致性可以扩展到一个理论中的每一个句子，使得该理论被爆炸掉。

（v）采用实无穷抽象法：把无穷当作一个已经完成的整体，而不只是一个潜在的无穷延伸的过程，在经典逻辑中可以研究本质上是非构造性的对象。

众所周知，上面的某些原则和假定已经被所谓的“变异逻辑”（deviant logic）——例如，相干逻辑，直觉主义逻辑，次协调逻辑等——所否定或修改，并且其修改常常是基于某些好的至少是合理的理由之上，有相当充分的根据。这里只以对矛盾律和排中律的限制或修改为例。

确实地，“思维中不能允许自相矛盾”，这几乎是逻辑学的绝对命令，也是对于理性思维的最基本的要求。但它的效力是否强大到如经典逻辑所说的那样，任何逻辑矛盾都会导致一个理论自毁，却是值得怀疑的。例如，科学史上常见的事实是：在一个发展得很好的理论中发现了逻辑矛盾，并且一时找不到消除和解决矛盾的办法，科学家通常不会抛弃该理论，而是维持对它的信任，让该理论继续发展，也许到了某一天，那个或那些矛盾能够被合理地消解掉。再如，在复杂的法律体系中，有些法律条文相互冲突，这应该算作正常的情形而不是例外。但这种情形通常不会导致该法律体系的废止，而是让该法律体系继续运作，只在必要时由权威部门作出解释，并且在适当的时候作出必要的修正。又如，我们要借助网络技术的支持，去建立各种形式的数据库，要求这些来源复杂的数据相互之间没有任何矛盾和冲突，恐怕是不现实的，这是一个无法满足的奢求。因此，下述策略至少有其实用的合理性：当在一个系统中发现矛盾且一时又找不到消除矛盾的办法时，最好的办法就是把那些矛盾禁锢起来，不让其兴风作浪，让该系统继续发展和运作，直到某一天能够消除矛盾为止。这就是某些次协调逻辑学家正在做的事情。难道他们的策略没有直观的合理性吗？

我认为，二值原则和排中律在我们的认知实践中有深刻的根源，主要有以下两点：一是世界在时空上是无限的；二是我们在具体时空背景下的认知能力却是十分有限的。于是，在一个具体的认知实践中，我们只能对我们面前的无穷多的认知对象作出一种粗略的划分：或者是A，或者是非A；关于这些认知对象的陈述或者是真的，或者是假的；没有中间情形和第三种选择。然后，我们忽略那些与我们目前的认知没有关系或关系不大的对象（“非A”），而集中关注那些与我们目前的认知密切相关的对象（“A”）。所以，二值原则和排中律本质上是人类不得已而采取的一种认知策略，在某些特殊的情景下，例如当遇到像“秃头”、“谷堆”这样的模糊词项的时候，或者遇到像“明天将要发生海战”这样的未来偶然命题的时候，或者在遭遇简单地处置难以对付的各种悖论时，或者当我们有能力达到更大的精确性程度时，我们当然可以对它们作出某种修改和限制。这必然导致对经典逻辑本身的修改，因为它严格地以二值原则和排中律为基础。所以，某些变异逻辑对二值原则和排中律的修改也有其直观的合理性，至于这种合理性是否足够充分，则是另一个问题。

（2）经典逻辑的保真性只能相对于一阶模型被证明，而不能被一般地证明，其证明只具有相对的意义，不具有绝对的意义。

所谓“保真性”是指：运用经典逻辑所提供的推理工具，从真实的前提出发，只能推出真实的结论，不可能推出假的结论。为了证明这一点，我们必须先给出一阶模型，然后在此类模型中证明经典逻辑的保真性，亦称“可靠性”。而一阶模型通常是指由一个结构U＝〈D，T〉和结构上的一个赋值ρ组成的有序对σ＝〈U，ρ〉。在这样的模型中，个体常项被解释为个体域D上的特定个体，个体变项被指派为个体域D上的某个个体，谓词被解释为个体域D上个体的性质或个体之间的关系，逻辑常项（包括联结词和量词）被解释为语句之间的真值运算。于是，经典逻辑系统的所有公式都获得确定的真值。

为了证明经典逻辑的保真性，我们不得不证明：相对于一阶模型〈U，ρ〉，（i）经典逻辑系统的所有公理为真；（ii）该系统的变形规则保真。值得我们特别注意的，是这种证明的相对性质——“相对于一阶模型〈U，ρ〉”。“一阶”模型等于给该类模型施加了某些特殊的限制条件，假如我们更换模型，也就等于更改了其中的某些限制条件，原来的结果是否仍然成立，必须重新予以证明。并且，即使在一阶模型中，关于变形规则MP保真性的证明也具有某种循环性质。该证明通常如下：

证明1：设A真并且A→B真。根据→的真值表，如果A真并且A→B真，则B真。所以，B真。

稍微仔细观察一下就会发现，该证明本身也使用了MP规则，因为它的结构是这样的：

证明1′：设C（即A真并且A→B真）。根据→的真值表，如果C则D（如果A真并且A→真，则B真）。所以，D（B真）。

这或者是循环论证，或者是在元语言层次上的无穷倒退！既然循环论证和无穷倒退在归纳证成中不被允许，在演绎证成中也同样应该不被允许，至少不能把这种证明视为最终性的。

更为严重的是，如美国哲学家哈特里·菲尔德于2008年在英国牛津大学所做的洛克讲演中所论证的，哥德尔第二不完全性定理表明，没有任何充分的数学理论能够证明它自己的相容性。因为，要证明数学理论T的相容性，我们首先要在T内部归纳地证明T是可靠的，即它的所有定理都是真的；然后由T的可靠性推出T的相容性。但问题在于，我们不能证明：T的所有公理都是真的，并且它的所有推理规则都是保真的，然后再由归纳法得出结论：它的所有定理都是真的。

这是因为，在标准的数学理论中，我们不能定义一般的真概念，而只能定义相对于某个或某类模型的真概念，例如，塔斯基就把有效性等同于在所有古典模型中真。菲尔德强调指出，这种模型中的真概念与一般的真概念是很不相同的，前者至少在部分模型中是可定义的，而后者却不是一般可定义的。于是，非经典逻辑学家同意，经典推理保留在古典模型中的真，但他们不承认它们（一般地）保真，因为他们认为，古典模型错误地表征了实在。并且，甚至经典逻辑学家也认为，古典模型错误地表征了实在。因为古典模型的个体域在规模上有限制，而集合论的实在却在规模上没有限制，这是造成模型中的真概念可定义，而一般性的真概念不可定义的原因。

菲尔德反问道，假如我们不坚持定义真概念，而把一般性的真概念作为初始概念引入会如何呢？在这种情形下，悖论意味着：我们不得不在下述两者之间作出选择：一是经典逻辑理论，其中的真概念服从异常的规律；一是带非经典逻辑的理论，其中的真概念遵守通常的真规律。在任何这样的有意义的理论中，或者不可能证明所有的公理都是真的，或者不可能证明所有的推理规则保真。⁽⁴⁾

（3）经典逻辑依赖于对相应逻辑常项及其语义解释的选择，而这种选择不仅决定了什么是逻辑形式，什么是逻辑真理，什么是逻辑后承，什么是逻辑系统，而且决定了什么是逻辑本身！迄今为止，学界并没有对这种选择给出完全充分的证成。

通常认为，逻辑常项有狭义和广义之分。狭义的逻辑常项包括：（i）命题联结词。基本的有五个：否定、合取、析取、蕴涵和等值，分别用符号﹁、∧、∨、→、↔表示。（ii）量词，包括全称量词和存在量词，它们约束个体变元x，x的值是某个确定的事物类中的分子，这个类被称为论域或个体域。（iii）等词，即表示同一的概念，用符号＝表示。只含有（i）类常项的形式系统被称为命题逻辑，含有（i）、（ii）两类常项以及谓词的系统被称为一阶逻辑。含（i）、（ii）、（iii）类常项的形式系统被称为带等词的一阶逻辑，而只含（i）、（ii），不含（iii）类常项的形式系统被称为不带等词的一阶逻辑。

广义的逻辑常项还包括：（iv）高阶量词，它们作用于个体的谓词或者谓词的谓词，由此得到的逻辑系统叫做二阶逻辑、三阶逻辑等。把所有有穷阶逻辑汇集在一起的系统叫做类型论。与一阶逻辑相对照，这些系统都是高阶逻辑。（v）由符号∈表示的属于关系。一阶逻辑加上∈构成的系统就是集合论。（vi）“必然”、“可能”这一类概念。在一阶逻辑基础上加进“必然”和“可能”这两个逻辑词，就构成一阶模态逻辑；在高阶逻辑中加进这两个逻辑词，就构成高阶模态逻辑，如此等等。

很明显，经典逻辑只承认狭义的逻辑常项，不接受广义的逻辑常项。为什么如此选择？其理由、根据和标准是什么？逻辑学家们当然给出了一些论述，例如语法标准、题材的中立性，置换不变，推理的刻画，实用的考虑等⁽⁵⁾，但在仔细的追问之下，其中每一种理由或标准都有可商议之处，都没有获得普遍的认可，似乎都出自某种偏好或主观的选择。并且，什么是逻辑常项？什么是逻辑形式？什么是逻辑后承？什么是逻辑真理？什么是逻辑系统？以及什么是逻辑？这些都只不过是同一个问题的不同提法，它们相互关联，你中有我，我中有你；诉诸其中的某一个概念去解释其他的概念，都带有某种自我循环的性质。例如，一旦确定了逻辑常项，就确定了逻辑形式，也就确定了逻辑后承和逻辑真理，也就确定了逻辑的范围。因为逻辑真理只不过是对逻辑常项性质的明确揭示，而一个逻辑理论只不过是逻辑真理的系统汇集。反过来说也成立。

塔斯基早就认识到这一点。他明确指出：

作为我们全部构设基础的是，把语言中所有项划分为逻辑的与逻辑外的。这种划分当然并非完全随意的。譬如，假若我们要把蕴涵号或全称量词算为逻辑外符号，则我们对于后承概念的界定就会导致显然与日常用法相矛盾的结果。然而，我找不到什么客观根据能允许我们在两组语言项之间划出严格界限。我认为可以把逻辑学家们通常视为逻辑外的项算为逻辑项，而不至于出现与日常用法明显冲突的后果。在极端情形下，我们能把语言中的所有项视为逻辑的。……

进一步的研究无疑将极大地澄清我们所关注的这一难题。或许，将有可能找到重要的客观论证，使得我们为传统的逻辑表达与逻辑外表达之间的界限提供合理辩护。但是，我同时认为很有可能这一方向下的探究得不到任何积极成果，因而我们将被迫将“逻辑后承”、“分析命题”、“重言式”这些概念视为相关性概念，即它们必须处处关涉到一种对于逻辑项与逻辑外项的明确划分（虽然会多少有点随意）。在后承概念惯常用法上的波动总是会（至少是部分地）很自然地反映在这样一种被迫无奈的情境中。⁽⁶⁾

在《关于逻辑的知识》一文中，博格西安详细考察了对“演绎（具体指分离规则）能够被证成吗”这个问题的各种回答，诸如怀疑论，关于逻辑的非事实论，默认合理的信念，规则循环的证成，等等。他作出这样的总结论：“把我们的基础逻辑信念视为没有得到证成的，对我们来说，这是无法接受的。也难以看清楚，没有演绎推理的惠助，它们会如何得到证成。”不过，他也承认，我们无法得到完全非循环的证成，而只能接受某种形式的规则循环的证成：“在我们的基本逻辑信念上，我们是有证成的，尽管事实上我们只能为这些信念提供规则循环的论证。其代价是：我们不得不承认，我们不能用这种证成形式去平息怀疑论者的怀疑。不过，相对于像逻辑这样基本的信念，怀疑论者的怀疑将不会以任何方式显现，这一点是可以争议的。”⁽⁷⁾

在我看来，这恰好说明，假如要跳出规则循环的证成的藩篱之外，我们就不得不寻求其他形式的证成之辅助，这将是本文第五节的主题。