生育的黄金法则

毫无疑问，人们的经济满意度是消费的函数。同样地，经济满意度也是单位人口生育子女数量的函数。具体而言，给定人均消费，在某个临界点之下，父母希望孩子越多越好，在这个临界点之上，孩子越少越好（不同的人偏好可能不一样）。

利用通常的方法，我们假设个体效用函数存在，且中央当局了解这些偏好信息，所以存在一个“社会福利函数”。与这个函数对应的“社会效用函数”以社会福利的高低对不同的黄金法则路径（每一条黄金法则路径对应于一个不同的出生率）排序。

我们需要哪些信息来求解并比较不同黄金法则路径的社会效用呢？我们假设只需要知道两个信息就能算出社会效用：出生率与人均消费（这两个值在黄金法则路径上都是常量）。假定社会效用取决于人均消费比假定取决于总消费更加合理。同样地，假定社会效用取决于人均生育子女的数量或者净出生率也是合理的。

所以，下一步就是要通过选择出生率来最大化社会效用。这个最大化问题受制于约束条件；所以该问题可以表示为

如果存在内点的最大值，那么在该点上的b，也就是b*，满足

我们称这种通过选择稳态的出生率来最大化社会效用的法则为生育的黄金法则。如果存在内点的最优解，那么在这条黄金法则路径上，只需要使出生率的边际成本（用人均黄金法则消费来表示）等于出生率与人均黄金法则消费的边际社会替代率。

内点解也可能不存在。导致不存在的一种可能是，在可能性曲线上，所有（b，c）都有（U_b/U_c）>－h′（b）；换言之，社会无差异曲线始终从上方切割可能性曲线，这样，当出生率达到生物最大值时社会福利达到角点最大值。另外，如果无差异曲线的“凸性”没有可能性曲线的“凸性”那么大时也会得到角点最大值。不过在出生率达到生物最大值之前，社会对生育的偏好就可能达到餍足点。

导致不存在的另一种可能是，在可能性曲线向下倾斜的部分上，所有（b，c）都有（U_b/U_c）<－h′（b）。在这种情况下，角点最大值出现在点（μ，h（μ））上。但是，如果f′（k）>0对所有k>0都成立，那么在n=0时黄金法则路径不存在。不存在的原因是，对任意一个接近μ的b，我们总能找到另一个更接近于b的μ，而这个μ能够产生更高的社会效用。

社会效用函数是由个体（或者家庭）效用函数推导出来的。但是，我们需要注意的是，个体效用函数不一定存在。尤其是当个体需要在消费和生育之间权衡的时候，个体效用函数往往难以描述这种偏好：假设有两个路径，这两个路径下的消费都低于“生存性下限”，那么无论这两个路径上的出生率分别是多少，当事人总是偏好那条消费更高的路径。在这种情况下该当事人的偏好就难以用效用函数来刻画。不过，我们依然可以用“偏好图”来描述这种偏好，并通过个体的“偏好图”来构造“社会偏好图”。

图12-1就展示了这样的一个“社会偏好图”。该图非常类似于哈维·瓦格纳²（Harvey Wagner）构造的一个图。对图中的水平线族而言，社会更偏好位置更高的水平线。在这些水平线上，出生率的提高无法补偿人均消费的下降。这里，人均消费量0D可以被解释为生存性下限。但是给定一条水平线，社会更偏好这条水平线上偏右侧的垂直线。需要强调的是，这些直线并非“无差异曲线”。社会对同一直线上任意两点的偏好并非无差异。类似地，以G为顶点的直角曲线也不能被认为是无差异曲线。只有那些远离原点的弯曲曲线是无差异曲线。这些曲线显示，社会对出生率的偏好在b达到餍足点，换言之，给定消费c，出生率如果高于b点，那么出生率进一步增加将使效用水平下降。

如图12-1所示，在由式（12-12）刻画的解上，可能性曲线和一条无差异曲线相切。另一种可能是可能性曲线经过如G那样的直角顶点；那么G就是所有黄金法则路径中的社会最优路径。第三种可能是可能性曲线经过如E那样的端点；该点同样不是来自两条曲线相切，但依然是社会最优路径。最后的一种可能是，可能性曲线从来不超出水平线区域。在这种情况下，社会最优路径不存在。