教育的黄金法则

要选择N（0）或者n来最大化黄金时代的消费我们只需要选择N（0）来最大化A（0）N（0）。由于h以及A（0）并不是b+s的函数，我们需要把b和s表示为n的函数。

要确保教育部门的效率，就要在给定n的情况下通过选择b和s来最大化h。具体而言，就是要在n不变的情况下最大化

对h求b的导数并令其为零可得

假设式（10-16）可以给出唯一的内点解，且在这个解上有b>0，1－b－n>0。所以，下面的二阶条件也必须满足：

这意味着教育者与学生之间的边际替代率递减。

对式（10-16）求全微分，我们可得

我们可以很合理地假设ψ₁₂>0以及ψ₂₂<0，从而使得db/dn<0。但无论什么情况，E（0）都是N（0）的单值函数。

现在，我们来最大化A*（0）N（0）以寻找最大化消费的黄金时代路径（给定任何k）。具体而言，这个问题就是通过选择N（0）来最大化

对A*（0）N（0）求N（0）的导数可得

令导数为零，并利用式（10-16）中的效率条件ψ₁－ψ₂=0，我们可得达到内点解的必要条件

该条件可以写为

由于b是n的函数，但与λ无关，式（10-21）可以表示为

用这些项来表示最大化的二阶条件可得

忽略式中原来的函数形式，我们可以发现，只要基于一些合理的假定，这个条件很容易得到满足。

我假设存在唯一的内点（局部）最大化解（显然，n=0和n=1都不可能是最大化的解。因为n在这两个点上有A*（0）N（0）=0）。所以式（10-16），式（10-21）和式（10-22）刻画了黄金时代最大化消费路径或者黄金法则路径的特征。

前面我们已经看到A*对h的弹性是λ的增函数。这表明，技术进步的速度越快，投入在教育部门的资源就应该越多。所以，一个很自然的问题就是，n的黄金法则值是不是λ的减函数。

对式（10-21b）求全微分可得

由于二阶条件式（10-22）成立（因为我假定了黄金法则路径存在），分母部分为负值。由于n>0以及H/λ>0（由式（10-21）可以推出），分子部分为正值。所以，正如我们的猜想，dn/dλ为负。

用f′（）=λ+γ来定义黄金法则路径上的实物资本密集度。如果λ增加，将下降当且仅当f″（k）<0（边际报酬递减）。λ的增加对黄金法则路径上的实物资本-产出比的影响取决于替代弹性：如果替代弹性大于1，则减少，如果小于1，则增加。所以，λ的增加对的影响是不确定的。