我的书签
添加书签
移除书签黄金法则与准黄金法则路径的运用
根据黄金法则模型，我们可以马上发现一些动态无效率的黄金时期路径。考虑任何一条资本-产出比（或者资本-扩张劳动比）永久高于对应的黄金法则值的黄金时期路径。我们只要立即消费掉多余的资本存量，从而使之后的资本-产出比保持在黄金法则值上，或者说按黄金法则路径来增长，那么，我们就找到了一条占优于原路径的新路径。这是因为在新路径上，我们显然获得了更高的初始消费（来自被消费掉的资本存量）以及在之后所有时点上的更高的消费水平（因为黄金法则路径是消费最大化的黄金时期路径）。
在对皮尔斯回应中，我提出了一个针对非黄金时期路径的一般性的猜想：“任何导致资本-产出比（或者等价的，资本-扩张劳动比。这种等价性来自这两个变量是彼此的单调递增函数）永久地高于——高出一个有限量——对应的黄金法则水平的政策都是无效率的，从而不可能是最优的4。”佳林·库普曼斯随后完成了对这个猜想的证明。在本文的这个部分，我们将展示库普曼斯的证明，并将其中的技术运用到对一般化的要素扩张型技术进步以及任意形式技术进步情况下的类似定理的证明中去。尽管该定理可以被推广到固定要素比（哈罗德-多玛）生产函数的情况，本文的分析将局限于新古典生产函数的情况。
以固定比率增长的完全的劳动扩张型技术进步 我们的新古典生产函数具有如下形式
且该函数满足规模报酬不变，二阶连续可微以及在所有点上都有正的边际递减的产出。这里Q表示产出，K是资本，L是劳动，t是时间。由此，我们可以将生产函数改写成
其中
以及
导数f′（k）是资本的边际产出。变量k是资本-扩张劳动比。
劳动力以比率γ指数增长，即
忽略折旧（或者把F理解为净生产函数），我们可知消费C满足
其中表示资本存量随时间延续的绝对增长，因此也就是投资率。将式（4-4）除以Loe（γ+λ）t，并利用式（4-2），我们有
对k（t）求时间的微分可得
由此，式（4-5）和式（4-6）可以用来表示出消费、资本-扩张劳动比及其变化率的关系：
现在假设存在一条黄金法则路径，那么存在一个与之对应的k的黄金法则值。为简单起见，我们假设满足黄金法则的消费最大化解是内点解。这样，就像第1章中写的那样，或者我们让C（t）对k的导数为零，可由以下方程求出
由式（4-2）可知，式（4-7）中的f（k）－（γ+λ）k在k<时单调递增，而在k>时单调递减。
现在，设想某条增长路径以如下的方式偏离黄金法则：在某个时点（可以是初始点）及其之后的全部时点，该路径上的资本-扩张劳动比以某个正的常量ε高于对应的黄金法则值。也就是说对于所有的t≥t0≥0，有
由此，我们可以证明下面的定理：
任何满足式（4-9）的路径A都是“动态无效率”的。这是因为我们总是可以找到一条路径B：在该路径上，资本初始存量和路径A一样，同时，至少在某些时点上的消费高于，且在其他所有时点上的消费不低于，对应的路径A上的消费。
证明：定义“比较”路径k*（t）（路径B）满足
在第一个区间0≤t＜t0，两条路径是一致的，因此C（t）=C（t）（如果t0=0，则一致的区间不存在）。在时点t=t0上，为了满足k（t）=k（t）-ε，一定数量的单位扩张劳动资本ε被瞬间消费掉，由此，在“比较”路径上突然产生了额外的消费。由式（4-7）可知，在之后的t＞t0的区间，两条路径的消费差额为
需要注意的是，对于所有的t>t0，因为两条路径仅仅相差一个常量ε，我们有。这样，式（4-10）和（4-11）意味着
对于所有的t＞t0，因为，k（t）＞k*（t）以及f（k）-（γ+λ）k在时严格单调递减，我们可知式（4-12）右边严格为正。也就是说，在区间t＞t0的所有时点上，“比较”路径上的消费更高，或者说，其占优于另一条路径。得证。
我要对证明的最后一步多说几句。要注意的是，因为k*（t）仅仅比k（t）小了ε，而在所有的时点上，k（t）比大了至少ε，所以我们有。图4-1说明了为什么在t＞t0上有
图 4-1
这个定理也可以用其他方式来表述。因为投资的社会净回报率（或者说竞争性市场上的利率）f′（k（t））是k（t）的单调递减函数并且与时间无关，该定理的等价表述就是：如果一条增长路径上的投资回报率永久但有限地低于对应的黄金法则值（黄金时期增长率），那么，该路径是动态无效率的。或者，我们也可以用资本-产出比来表述，就像我原先猜想的那样。
另外一个需要注意的地方是，对任意k有f′（k）＞0以及f″（k）＜0的新古典假设对该定理而言是不必要的。举例而言，如果对任意有f″（k）=0（这里被定义为满足f′（k）=（γ+λ+δ）的最小的k），那么，尽管两条路径在t0之后的时点上有相同的消费，但在t0上，“比较”路径的消费依然更高，从而占优于另一条路径。此外，在哈罗德-多玛生产函数的情况下，对任意k>有f′（k）=0。此时，这个定理也显然成立，因为任何一条资本过剩的路径一定是无效率的。
我们已经讨论了黄金法则模型中动态无效率的充分条件，但还没有完全给出无效率增长路径的特征。具体而言，式（4-9）并非无效率的必要条件。举例而言，大卫·卡斯和梅纳海姆·雅瑞5曾指出，即便当t→∞时有，任何在t=0时资本存量高于黄金法则值的路径并在此后保持单位扩张劳动消费在黄金法则值上的路径同样是无效率的。这是因为在该路径的初始时点上，当事人没有抓住获取额外消费的机会6。
一般的要素扩张型技术进步现在，我们继续假设技术进步是要素扩张型的，但放弃劳动扩张以固定比率增长的假设。此外，我们允许技术进步是部分甚至完全的资本扩张型的。最后，我们允许劳动力以可变的比率增长。在进行了这样的一般化之后，黄金法则路径就不存在了（除非是在和前面模型一样的特殊情况下）。
现在，我们的新古典生产函数为
这里，A（t），B（t）和L（t）是时间的连续可微函数。由此，单位扩张劳动产出为
其中，
并且f（k（t））=F［k（t），1］。资本边际产出为B（t）f′（k（t））。
由消费关系式
以及
我们可以把消费用k（t）来表示：
就像第3章中所讨论的那样，在技术进步为一般性的要素扩张型的情况下可能存在一条准黄金法则路径。这条路径，在扩张资本-扩张劳动比k上，相对于其他与之绝对平行的路径居于高位。如果在这条路径上消费最大化值为内点解，那么这条准黄金法则路径可以由下面的等式来刻画：
这里，先假定式（4-18）定义的路径是存在的。
现在，我们可以发现，这条准黄金法则路径的性质和前面那个定理所描述的完全一样：如果一条路径，从某一时点开始之后，扩张资本-扩张劳动比都比对应的上的值高出一个正常量ε，那么，该路径一定是动态无效率的。或者说，如果k（t）在t≥t0≥0上有
则必然是无效率的。
通过证明可以发现下面的比较路径占优于任意由式（4-19）描述的路径：
比较与之对应的消费路径，我们可以看到，在时点t0之前，两条路径上的消费完全相同。在时点t0上，比较路径上的消费相对于另一条路径上的消费有一个增加。此后，因为两条路径仅仅相差一个常量ε，我们有。之后，由式（4-17），我们可以用k（t）和k（t）来表示C（t）-C（t）。和之前的定理一样，最终可得，对于所有t＞t0有C*（t）-C（t）＞0。
在前面我提到，之前定理所描述的路径可以用另一种方式来表述，那就是，在该路径上投资的回报率始终低于与之对应的黄金法则值。但在当前的模型中，就很难说所有投资的回报率始终低于与之对应的准黄金法则值B（t）f′（k（t））的路径必然是无效率的7。
任意类型的技术进步 毫无疑问，要素扩张型技术进步可以被看成是当前模型中的特例。不过，由于准黄金法则路径仅仅存在于技术进步为要素扩张型的情况下，所以，现在对动态无效率路径的识别不同于前面讨论的情况。（其中的差别来自求解路径所用的“平行”概念上的差别）
我们把新古典生产函数写成如下形式：
或者，由规模报酬不变假定可得
其中
以及
由消费关系式
和
我们可得
如前文所述，如果消费最大化值是内点解，那么准黄金法则路径可以由下面的等式定义
该路径，在资本-劳动比k上，相对于其他平行路径居于高位。
采用原先的方法，我们同样可以发现，如果从时点t0≥0开始，k（t）满足
那么该路径必然被占优于比较路径
因此，该路径必然是动态无效率的8。
现在，假设技术进步是要素扩张型的。这样，式（4-21）依然有效，而我们可以像式（4-13）一样，把F（K，L；t）写成G（BK，AL）的形式。此时，如果由式（4-18）和式（4-26）定义的路径存在，我们将得到两条准黄金法则路径。那么，是否可以说其中的一条是有效率的，而另一条是无效率的呢？如果其中一条准黄金法则路径上的利率一致地低于另一条上的利率，那么，我们可以料想那条“低利率”路径是无效率的。不过之前的两个脚注都不支持我们简单地把本章中的定理用利率来表述。我相信，在很多情况下这两条准黄金法则路径都是无效率的。例如，假设=0并且/A（t）≤/B（t），那么，利率在这两条路径上都是非正的。然而，如果存在正的技术进步（Ft＞0）并且这种技术进步不是“非常节约资本”（FKt＜0），那么，我们可以料想这种零利率路径是动态无效率的。（在任何情况下，如果一条路径上的市场竞争利率是负的，即便仅仅出现在某个有限区间，那该路径一定是无效率的。这是因为负的投资社会回报率意味着，增加今天和明天的消费而保持其他消费计划不变是一条更好的路径。）本章的第二部分运用了一般化的黄金法则路径来讨论动态无效率问题，其中一些内容会支持我现在的这个论点。
