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移除书签一般化的黄金法则路径
我们现在假设存在多种类型的劳动L1,L2,…,Ln。它们都是时间t的连续可微非递减函数。总量生产函数
不再是资本和劳动的一次齐次函数，甚至不是齐次函数。但是我们依然假设这个生产函数二阶连续可微并且资本的边际生产力递减。在所有时点上都存在正的技术进步7。
由于劳动投入是外生的，且仅仅是时间的函数，我们可以把生产函数写成如下形式：
由以上的所有假设，我们可知，对于所有的K和t，有
首先，我要来分析一下资本存量上的相对平行关系8。考察相对平行关系的想法得益于克里斯蒂安·冯·魏茨泽克的建议。实际上，他正确地发现，在资本存量这个变量上，任何满足投资率等于资本产出弹性的路径和与之相对平行的其他路径相比都处于高位。这就是下面这个命题的充分性部分。
该命题如下所述：在资本存量这个变量上，任何路径和与之相对平行的其他路径相比都处于高位的充分必要条件是投资率等于资本产出弹性（规模报酬不变时的资本收入份额），或者等价地，资本存量的增长率等于资本的边际产品，即
或
这个等式描述了高位路径的性质。我们来看看这是如何得出来的。
考虑一个由
定义的对数平行路径族。这里K（t）是任意一条可行或不可行路径。π是一个不变的参数，可以大于等于或者小于1。由可知，对于任意给定π，都有一条与之对应的消费路径：
现在，如果有一条路径相对于其他路径居于高位，C（t）对π的导数必然在所有的时点上都为零。因此有
由式（3-35）可知。所以式（3-37）可以被写为
这表明资本存量增长率与资本边际产出之间相等是一条路径居于高位的必要条件。另外，由于资本的边际生产力递减（PKK<0），满足式（3-37）的稳态值必然是最大值，因此，这个等式还是该路径居于高位的充分条件。（显然，只有在K（t）对数平行于由式（3-38）定义的路径时，这个对数平行路径族才存在高位路径。）
我们可以看到，式（3-34）和它的等价物（3-34a）是一个关于的微分方程：给定始状态，我们一定可以得到唯一的对应路径。所以，式（3-34）定义了一个完整的高位路径族，其中每一条路径都和一个初始状态相对应。
那么，在什么条件下，式（3-34）定义的路径存在呢？答案是，给定任意正的资本存量K0，都必然存在一条路径满足式（3-34）。
此外，当资本的边际生产力在任意点上都递减时，这些高位路径也必然是可行的。这是因为资本的边际产出处处递减意味着资本的平均产出下降；这就导致边际产出低于平均产出。而在高位路径上，和投资-产出比相等的资本产出弹性必然小于1。所以，在这些路径上投资不可能超过产出。（同样地，由于资本的边际产出处处为正，给定高位路径上任意一个正的初始资本存量，后面的资本存量必然随时间增加。所以资本存量在这些路径上也不可能是负的。）
基于两点理由，我把这些高位路径称为一般化的黄金法则路径。第一，它们是从一个相当一般化的模型中得到的。在这个模型中，既没有假设技术进步是完全的劳动扩张型，也没有假设仅有一种类型的劳动投入或者规模报酬不变。第二，如果我们把完全的劳动扩张型等假设附加到生产函数式（3-31）上，那么黄金法则路径就属于一般化的黄金法则路径。这个结论很直接地来自以下事实：黄金法则路径上投资-产出比等于资本产出弹性，或者等价地，资本存量增长率等于资本边际产出。此外，这些路径的一个基本特性是，（当规模报酬不变时）投资额都很神奇地等于资本收入。
要更加清晰地分析这些一般化的黄金法则路径，我们可以用资本的边际产出和平均产出来构造描述路径的微分方程。首先，我用r来表示资本的边际产出；在规模报酬不变的假定下，r等于市场利率。
对等式求时间的微分，可得
这里
根据式（3-34a），任意一条一般化的黄金法则路径都有
由式（3-40）和式（3-41）可知下面的微分方程刻画了一般化的黄金法则路径：
假定h>0。要满足这个假定，一个充分条件是各类劳动投入都是资本的替代品，并随时间变化而增加，以及技术进步在希克斯的意义上不是“非常”节约资本。进一步假设PK（∞，t）=0。这是在增长理论中一个非常常见的假设。由此可知，ε作为r和t的函数，在所有的时点上，当r趋于零时也趋于零。在这两个假设都满足时，给定任意初始值，r总是向变量（h/-ε）逼近：如果r<（h/-ε），r将上升，反之，则下降。不过，如果PK（∞，t）>0，并且（h/-ε）低于r的下界，那么r仅仅逼近其下界。类似地，如果h<0，r也仅仅逼近其下界。
一个有趣的情况是（h/-ε）为独立于r和t的正常量。假设PK（∞，t）<h/-ε，那么满足式（3-42）的变量r的路径将变为常量路径
此外，如果初始的r不满足式（3-43），那么r将渐进地趋向于（h/-ε）。
现在，我们来分析一下为什么式（3-43）刻画了一条黄金法则路径（假如路径的存在性不是问题）。假设规模报酬不变，技术进步是要素扩张型的，并且只有一种劳动投入，即
那么，
可以看到
以及
或者令b表示劳动收入份额，令σ表示替代弹性。由-ε=b/σ可知
在黄金法则模型中，
所以（h/-ε）为独立于r和t的常量，并且（h/-ε）等于扩张劳动的增长率。当然，在柯布-道格拉斯情况下，黄金法则路径的存在性并不要求。但是技术进步必须为完全的劳动扩张型（和完全的资本扩张型）。在这种情况下，根据式（3-48）可得
其中α≡1-b是柯布-道格拉斯函数中资本变量上的指数。该函数后面两项的和可以被看成是技术进步对劳动的“真实”扩张率。
不过，我们因此推断出，如果（h/-ε）为独立于r和t的常量，那么式（3-43）就刻画了黄金法则路径。由式（3-47）我们可以看到，如果
那么（h/-ε）是一个常量。但是，如果，并且生产函数不是柯布-道格拉斯形式的，那么，黄金法则路径不存在9。
由微分方程式（3-34）刻画的一般化的黄金法则路径族同样可以用资本-产出比x来表示。首先，我们把生产函数（3-32）写成
这要求资本的产出弹性小于1。资本的边际产出处处递减可以保证这个要求得到满足。微分
有
其中投资-产出比。由此可知
其中α表示资本产出弹性。此外，由式（3-34），在任意一般化的黄金法则路径上有
由式（3-54）、式（3-55）和式（3-56）可得
该微分方程刻画了一般化的黄金法则路径族。对此的分析可以类似于对关于变量r的微分方程的分析。在特定的假设之下，x将逼近（aη/ηt）。
任意具有不变x的满足式（3-57）的路径都有
或者等价的
这就是黄金法则路径。在黄金法则模型里，当资本-产出比不变时，产出的增长率ηt/η等于扩张劳动的增长率。
到现在为止，我仅仅在对数平行的意义上讨论了高位路径。这里有必要再简单地说一下绝对平行意义上的高位路径。在资本边际产出处处为正的假设之下，在变量资本存量上，不存在一条相对于与之绝对平行的其他路径居于高位的路径。要证明这一点，可以令
定义一个绝对平行路径族。所以消费可以被表示为
这里，因为对于任意K有PK>0，所以δ越大，消费越高。这就是说，不存在一条路径可以相对于其他平行路径居于高位。
如果资本的边际产出在路径上为零，而在所有的路径上为负，那么，在变量资本存量上，路径相对于其他与之绝对平行的路径居于高位。
在前面的只有一种劳动投入的模型中，我们用资本-劳动比及其各种变形来度量生产的资本密集度。在现在的模型中，我们以资本存量为着眼点。所以我们可以用资本的边际产出和平均产出（或者其倒数：资本-产出比）来度量生产的资本密集度。考虑到讨论的完整性，我现在分析一下这些资本密集度变量上的高位增长路径。
首先考虑资本边际产出上的绝对平行关系。再次令r表示资本边际产出。一个绝对平行路径族可以被定义为
这里，和任意r（t）对应的路径K（t）可以由下式表示
对等式求关于时间的全微分，我们有
或者
对式（3-63）求关于δ的偏微分，我们有
对式（3-64a）求关于δ的偏微分，我们有
或者等价地
其中，E（y）表示K对任意变量y的弹性：
根据消费关系式
我们有
现在，如果存在一条高位路径r（t）+δ，那么，在该路径上有C/δ=0（假设最大值是内点解）。用式（3-63）代替P/K，用式（3-63a）代替，我们可得
令该导数为零。由于对所有的K和t都有，利用可知高位路径上有
在资本边际产品这个变量上，一条相对于其他绝对平行路径居于高位的路径必然满足式（3-70）。所以式（3-70）是一条路径居于高位的必要条件。在这里，二阶条件也满足并不意味着这个必要条件就一定也是充分条件。考虑到有可能仅仅是一个局部最大值，所以满足式（3-70）的路径未必高于其他路径。实际上，二阶条件2C/δ2<0也未必一定成立。这个二阶导数的符号取决于E（h）和E（h）/δ，而这两者的符号都是不确定的。
当然，这条黄金法则路径（如果存在的话）必然满足式（3-70）。如前面所示，在黄金法则路径模型中，独立于r和t的（h/-ε）是扩张劳动的增长率。因此，在那样的模型中有E（h）-E（ε）=0，也就是说由常量r=（h/-ε）刻画的黄金法则路径满足式（3-70）。
现在，我们考虑在变量资本边际产出上的相对平行关系。这个对数平行路径族被定义为
所以
决定了与其他路径平行的路径K（t）。
微分式（3-72）可得
和
由式（3-73）可得
根据消费关系式可知
令这个导数为零，并用替代，我们可知在高位路径上有
这仅仅是一个必要条件。而且，保证为消费最大值的二阶条件也未必满足。
最后，我们考察一下资本-产出比这个变量上的平行关系。由关系式
以及
可得
这里
H是资本-产出比不变时产出的增长率。
现在，考虑一个绝对平行的路径族
把b和H看成是K和t的函数，由式（3-80）可得
这里K/δ=Q/b>0。因此，由消费关系等式可知
令这个导数为零并且令表示x（t）+δ，我们有
这是路径为高位路径的必要条件。和前面的分析类似，由于达到最大值的二阶条件不一定成立，这个条件无法保证充分性。需要注意的是式（3-84）和式（3-70）具有某种对称性。
黄金法则路径必然满足式（3-84）。在黄金法则模型中，H度量了扩张劳动的增长率并且有E（H）=0。在黄金法则路径上，PK=H而。
分析资本-产出比这一变量上的相对平行可以得到一个类似于式（3-84）的等式。不过，基于当前的假设，二阶条件同样有可能不满足。
在本章的后半部分，我们在特定的假设下考虑了一系列一般化的黄金法则路径。在每一种情况下，黄金法则路径都可以被看作是一般化的黄金法则路径的一个特例。在资本的边际产出和平均产出这两个变量上，高位路径的刻画比较复杂。此外，相应的二阶条件非常繁琐，并且缺乏良好的涵义。这也就解释了为什么人们普遍认为对第一种一般化的黄金法则路径（满足投资量等于资本产出弹性）的分析是最有价值的。下面，我们将介绍黄金法则路径及其一般化的理论运用。
