吸收困难

模型的基本设定是常规的。劳动力L以非负的比率γ指数增长：

产出Q是实际使用中的资本K以及扩张劳动的函数。扩张劳动以不变比率λ增长。

该生产函数具有规模报酬不变的性质。边际产出处处为正，递减并且连续。对于任意正的产出，劳动都是必需的。因此，如果用k（t）表示时点t上被使用的资本与扩张劳动之比

那么，生产函数可以被表示为

用X表示存在的资本。这样，就是投资率。用C表示消费，我们有

现在，用x（t）表示存在资本与扩张劳动之比：

对式（6-6）求微分可得

式（6-5）两边同除以e^（λ+γ）tL_o并利用式（6-4）和式（6-6）可得

现在假定投资-产出比是常数，我们有

由式（6-7）和式（6-8）可得下面的微分方程：

如果和常规模型一样，设x（t）=k（t），那么式（6-9）就退化为一个索洛增长模型中的标准微分方程。但在本章中，我假定存在资本吸收困难，使得x（t）>k（t）。

假设资本的吸收机制符合下面的线性微分方程，即

或者，等价地

由式（6-10）可知，现存资本被吸收为使用资本的速度与这两种资本之间的差额成比例，并且比例系数α是一个正的常数。在后面的第二个模型里，我将引入非线性机制。学术界对式（6-10）存在疑问。最大的疑问可能来自这个假设，即劳动力或者有效劳动力的增长并不能使得α有所增长。

对式（6-3）求全微分可得

由式（6-10a）和式（6-11）可得

式（6-12）和式（6-11）构成了一个以x（t）和k（t）为变量的微分方程系统。当时，这个系统处于均衡之中——一个黄金时代均衡。由g表示λ+γ，在这个均衡点上有

或者等价地

这两个方程的图像如图6-1所示。

图　6-1

图6-1中存在唯一的满足k>0,x>0的均衡当且仅当在原点处表示式（6-13a）的曲线要比表示式（6-14a）的直线更陡峭。因此，这种均衡存在当且仅当

当α→∞，我们可以得到类似于不存在吸收困难的常规增长模型中的条件，即sf′（0）>g。

从图6-1中的箭头可以看到，这个均衡对所有k（0）>0,x（0）≥k（0）都具有全局稳定性。这些箭头的方向由式（6-9）和式（6-12）决定。

由图6-1可知，储蓄率的增长会渐进地产生更高的k（t）和x（t），从而形成更高的产出路径。但如果超过了某个黄金法则路径上的点，那么k的增加将减少消费。

由式（6-7）可得

因此，在的黄金时代均衡上，我们有

和求解消费最大化的黄金时代路径一样，对C（t）求k的导数并使其为零，我们发现

由式（6-13a）可得

由式（6-18）和式（6-19），使消费最大化或者满足黄金法则的k（我们写为）可以由下面的等式定义：

由此可见，在当前的模型中，被实际使用的资本的边际产出超过了黄金法则路径上的自然增长率（当α→∞时边际产出和增长率趋于一致）。如果使用资本的边际产出等于黄金时代增长率，那么这条路径上必然存在动态无效率，换言之，在该路径上资本的密集度过高了。边际产出超过黄金法则路径上的增长率是因为一单位使用资本的增长要求超过一单位的现存资本的增加。这说明，和不存在吸收困难的情况相比，现在提高使用资本存量对投资的压力更高。

我们可以用一些修正手段使得资本的边际产出等于黄金时代增长率，从而恢复这个公式的一般性。比如，无论是在当前模型还是常规模型中，现存资本的边际产出都等于黄金时代增长率。只要把式（6-18）写成

我们就可以把第一项解释为均衡条件下现存资本的边际产出。