模型

假定生产函数是规模报酬不变的新古典生产函数，技术进步是要素扩张型的。因此

在每一个时点上，厂商都会雇佣一些发明家（发明家的供给是外生的），使得A或者B随时间增长。要素扩张的比率为和，这在当前模型中是内生的。厂商可以控制对发明活动的投入，也就是决定要素的扩张比率，从而在每一个时点上最大程度地减少生产成本，或者说，最大程度地提高技术进步率R，

这里，

这种最大化行为受制于发明可能性边界的约束。发明可能性边界可以表示为

它的几何形状如图8-1所示。这个可能性边界是严格凸的，不随时间变化，也不随资本-劳动比变化，因此，不受要素价格和投入比影响⁵。

图　8-1

要在满足约束条件式（8-3）的情况下最大化式（8-2）中的R，我们可以将式（8-3）代入式（8-2），求对的导数，并令其为零。由此可得实现最优资本扩张比率的充分必要条件：

这个解可以在图8-1中看到。

通过对图8-1的几何分析或者微分式（8-4）可知α的增加将提高最优的，减少最优的：

因此，在均衡状态下，资本收入份额越大，技术进步就更多地体现为资本扩张。

和习惯一致，我们把技术进步的希克斯偏向定义为，给定资本-劳动比，资本边际产出的增长率减去劳动边际产出的增长率，即

这说明，在均衡中，技术进步是劳动节约型（>0）还是资本节约型（<0）取决于替代弹性σ究竟小于还是大于1。

由上面我们已经看到资本收入份额的增加会使得均衡的技术进步更偏向于资本扩张。另外，当σ＜1时，资本扩张的增加会使得技术进步更偏向于节约资本。而更节约资本的技术进步会降低资本收入的份额。这意味着，如果在这个存在引致发明的经济增长模型中存在均衡的稳态要素收入份额，那么必然有条件σ<1得到满足。这就是我和德兰达基斯论文的主要发现。

在这篇论文中，我们考虑了储蓄率不变或者以指数减少的情况。这里着重讲一下储蓄率不变的情况。设

另外，劳动以指数增长：

由这两个方程组可得如下的两个微分方程

其中。根据前面的设定，，R（α）都是α的函数。当，也就是α和为常量时，经济体进入均衡状态。此时，均衡值为α，，其中>0，0<α<1。（在均衡时，σ必然不随时间变化。）将式（8-2）和式（8-6）代入式（8-9）和式（8-10）中的，R（α），我们可以得到如下的均衡值

这意味着均衡的资本收入份额就是使得最优资本扩张比率为零的资本收入份额。与此对应的最优劳动扩张比率φ（0）加上γ就是资本和产出的均衡增长率。因此，我们就得到了具有完全劳动扩张型技术进步以及不变要素收入份额的标准黄金时代均衡。这个均衡对于任意初始状态都具有全局稳定性，当且仅当σ<1对所有资本-劳动比都成立。通过这个分析，我们可以看到肯尼迪的命题在一个以边际生产力确定要素价格的新古典模型中是成立的（只要σ<1）。