出生率与人均黄金法则消费的权衡

为简单起见，我们仅考虑一个单一商品经济。关于总量生产函数，我的假定如下。经济体中不存在技术进步。产出是资本、劳动和土地的一次齐次函数。土地是同质的且具有无限的供给。所以，只要所有要素都增加一倍，产出也必然增加一倍。由于土地是无限的，我们可以忽略生产函数中的土地而认为产出仅仅是资本和劳动的一次齐次函数。此外，我们假设所有的要素对任意正的产出都是必不可少的。边际产出是平滑的，递减的并处处为正值。采用通常的表示符号，我们可以把这些条件写为

人口与劳动力都以不变比率n增长。这个当前不变的量在后文中将取决于人们的选择。人口等于劳动力乘以一个固定的常数。不过考虑到现实中n越大人口中劳动力所占的比重就越小，我们会对模型做一些微小的修正而不改变基本结论。

如果k是一个常量，那么，由式（12-1）和式（12-2）可知人均投资是n的线性函数

因此人均消费为

每一个不同的k都对应一个不同的黄金时代路径。在这些黄金时代路径中那条最大化人均消费的路径就是资本积累的黄金法则路径。式（12-1）中隐含的确保了黄金法则路径的存在性。如果f′（0）≥n，那么可以通过选择k来得到内点的最大化解。用来表示这个解，那么其满足

另一方面，如果f′（0）<n，那么，对任何k≥0都有f′（k）－n<0，所以有角点解

人均的黄金法则消费为

现在的问题是n的增长如何影响？如果初始的n对应的解为=0，那么n的增长不会影响资本、产出、投资和消费——这些变量都为零。如果初始的n对应的解为>0，那么n的增长会提高f′（）；但由于f′（k）是k的减函数，所以必然减少，而这就使得黄金法则路径上的人均产出f（）下降。不过，在这种情况下，黄金法则路径上的人均投资n有可能下降。这是因为，尽管n上升了，但却下降了，而这两个变量的乘积可能下降。

所以，如果最优解是内点，要回答n的上升究竟如何影响就要对式（11-6）求关于n的微分，并利用式（11-5a），可得

因此，对所有的>0，都是n的增函数。但是，如果n大到使得n=f′（0）从而以及=0，那么，n的进一步增加对和都没有影响。

用表示能产生内点解的n的最大值，我们可以把这些结论总结为下面的式子

（因为f′（k）对所有的有限k都为正值，所以当n=0时黄金法则解不存在。）

我们在上面分析了人均黄金法则消费与人口增长率之间的关系。要模型化出生率和黄金法则人均消费之间的权衡，我们要利用封闭经济中的这样一个关系

这里b表示“出生率”（单位人口的后代数量），μ表示“死亡率”。我们假定μ为不可选择的外生参数，而b为可以选择的变量。¹

由式（12-8）和式（12-9），我们可以得到b和c的权衡

这个权衡可以用图12-1来展示。（需要注意的是，只有在出生率高于死亡率，或者说人口增长率为正值的情况下，黄金法则路径才存在。）

图　12-1