以指数增长的人口与平稳的技术进步

让我们先来看模型中的生产方面。因为劳动以指数形式增长，前面模型中的式（5-1）现在可以改写为

假定技术进步是平稳的，也就是生产函数不受时间变化影响：

不过，我们现在需要引入规模报酬不变、二阶可微、边际生产力递减以及两要素都是必要的等假定，即

其中

且

再次假定没有折旧，我们有单位劳动消费c（由于人均闲暇是固定的，单位劳动消费与人均消费之比是固定的）加上单位劳动投资等于单位劳动产出：

其中

由于

我们有

其中

最后，我们有初始条件

式（5-23）和式（5-24）构成了当前问题的约束条件；它们和前面问题中的式（5-5）和式（5-6）类似。尽管方程是一样的，但式（5-23）和式（5-24）中的变量是人均值，并且我们可以看到g（k）和G（K）存在某些差异。我将在后面对f（k）施加约束，使得g（k）在某个有限的上达到最大值，正如G（K）那样。但是现在我们先考虑本模型中偏好的设定问题。

在确立最优性标准的时候我不会把效用函数限定在类似拉姆齐效用函数的特殊形式上。因此，我把瞬时效用函数写成u=u［c（t），t］这样的一般形式，这样瞬时效用就取决于消费、人口（人口是外生的时间的函数）和时间。由此，我们说一个可行的消费路径c（t）是最优的，当且仅当对于所有其他可行路径c（t）（在某个时点上有c（t）≠c（t）），存在一个T⁰，使得对于所有T≥T⁰有

关于这种偏好的问题，皮尔斯¹⁴、斯里尼瓦桑（Srinivasan）¹⁵、宇泽弘文¹⁶、库普曼斯¹⁷、冯·魏茨泽克¹⁸、稻垣（Inagaki）¹⁹、渥美²⁰、萨缪尔森²¹、卡斯²²以及其他学者提出了众多的效用函数形式以解决当前问题和其他关联问题。其中，被卡斯和冯·魏茨泽克采用最多的函数形式可能是

这里，瞬时社会效用u是人均消费的递增、凹以及无界函数。总效用是瞬时效用在路径c（t）上从初始点积累到t=T时的积分。u（c（t））有时被称为人均瞬时效用，在这里我简称其为瞬时效用。

有时候我们会认为像式（5-25）那样的效用函数没有给未来的瞬时效用打折。但就像库普曼斯所说的那样，这其实是一个误解。式（5-25）加总的是每一代人的当前的瞬时效用而不是单个人每个时点上的瞬时效用。比如，要计算在时点t=T上的社会效用U（T），我们积分的是在该时点上每一代活着的当事人的瞬时效用。这样的话，如果用v_i［c_i（t），t］表示在时点t上第i个人的瞬时效用，并用c_i（t）表示其消费，我们有

其中，L（t）（为整数）是时点t上的人口规模。如果在每个时点t上消费是一样的，并且个体的社会瞬时效用函数也是一样的，那么有v_i［c_i（t），t］=v［c（t），t］。如果把人口规模看成由式（5-19）给出的时间的连续函数，我们有（L_o=1）

如果经济体中人人平等，即我们对所有人的瞬时效用一视同仁，那么，就像库普曼斯所说的，就不可能去给不同代的个体瞬时效用打折扣，即v［c（t），t］=u［c（t）］。因此，我们的社会效用函数就是

这和式（5-25）给出的函数形式有差异。显然，式（5-25）给出的函数形式可以被解释为具有和人口增长率γ一样的贴现率的个体瞬时效用函数的积分：

我会在后面考虑对个体瞬时效用函数一视同仁的假定的涵义。现在，让我们回到式（5-25），并用库普曼斯-冯·魏茨泽克-渥美的方法来求解。（斯里尼瓦桑、宇泽弘文和卡斯使用了不同的效用函数，所以求解方法也不同。）

如果要在满足约束条件式（5-23）和式（5-24）的情况下最大化U（T）在T趋于无穷大时的极限，我们可能会遇到拉姆齐在解决不变人口问题时的积分不收敛的难题。如果人均消费保持在某些可持续的水平上，使得u（c）＞0，那么积分就是发散的。为了解决这个难题，研究者采用和拉姆齐类似的方法：利用黄金法则先设定一个可持续的最大瞬时效用，然后利用它来构造一个可以收敛的积分极限。

假设f′（0）＞γ，那么有g′（0）＞0。因为f′（∞）=0（劳动是必须的生产要素）以及f″（k）<0（边际报酬递减），所以函数g（k）将在某个上取得最大值：

这里是可持续的最大人均瞬时消费，是可持续的最大瞬时效用，而路径是消费最大化的黄金时代路径，即黄金法则路径。在这条路径上，资本的边际产出f′（k）等于人口增长率，投资等于竞争性市场上的资本收入。由于假定黄金法则路径是存在的，我们可以让黄金法则路径发挥不变人口模型中资本饱和路径的作用。也就是说，我们可以把实际的瞬时效用u（c（t））减去与黄金法则路径对应的瞬时效用。这样就得到了类似于式（5-9）的新积分

同样地，如果存在一个可行路径最大化了V，那么这条路径在前面所述的最优准则的意义上是一条最优路径。如果最大值是唯一的，那么最优路径也是唯一的。库普曼斯的研究显示，唯一的最大值是存在的。具体而言，不可能存在积分发散的问题：对于所有可行的消费路径和所有初始资本存量，V都存在上界。如果经济体一开始就低于黄金法则路径，即，那么，对于所有可行的路径，积分都是负值。不过，由于黄金法则路径可以在有限的时间内达到，一定存在一些路径可以使积分收敛（收敛到一个有限的负值）。如果经济体一开始就高于黄金法则路径，那么，积分将是正值且仍然收敛。所以，不存在“无限的优于”黄金法则路径的路径。

由于在约束条件式（5-23）和式（5-24）下最大化式（5-27）的问题在数学上完全等同于在约束条件式（5-5）和式（5-6）下最大化式（5-9），我们可以直接得出和拉姆齐公式类似的刻画最优人均瞬时消费的公式：

考虑到，我们可以把式（5-28）写成

设L_o=1。我们可以发现式（5-28a）等价于式（5-10），当且仅当γ=0（如果L_oe^γt=1，前面模型中的C就等于当前模型中的人均消费c）。

当前模型的解的特性也和前面类似。如果，我们有c=g（），＝0。这样，经济体就始终在黄金法则路径上运行。如果k_o＜，在所有t上我们有c＜g（k），而k（t）将渐进地、单调地向收敛。类似地，如果k_o＞，k_o＜，在所有t上我们有c＞g（k），而k（t）也将渐进地、单调地向收敛。

读者也许会问，人口增长率该如何影响最优的瞬时消费呢？首先，我们可以看到，在长期，如果γ＞0，则有（设L_o=1），如果γ=0，则有。这样，就是一个有限的值（这意味着，随着γ趋于零，不会成为一个无限的值）。因此，在长期，如果存在人口增长，那么，储蓄无论是绝对量还是相对于收入的比率都会增加。既然在人口增长的情况下（人均资本存量减少）长期的人均收入会更少，那么，长期的消费也会更少。

现在再来看看人口增长率对初始的储蓄的影响。给定人均收入G（K_o）=f（k_o）以及L_o=1，人口增长率对储蓄会产生两个相反的影响：一方面，γ越大，g（k_o）就越小，这就使得可用于人均消费和投资的总额就更少。这就像图5-1所显示的，人均最优瞬时消费会下降；另一方面，γ越大，，和就越小，而图中显示，这又将提高最优人均消费。要知道哪一种影响会更大，我们就需要设定g和u的具体函数形式。不过，我们也可以通过求导数dc/dγ来分析这种影响。结论是，如果不对g和u施加限定，那么导数的符号是不确定的。下面我们来具体分析一下。首先把确定最优初始人均消费c₀的式（5-28）写成如下形式

对其求全微分可得

其中

因此，

这里，尽管分母是负值，但分子的正负是不确定的。分子的第一项可以看成是γ通过g（k_o）来影响消费（其影响是负的），第二项可以看成是γ通过g（）和来影响消费（其影响是正的）。奇特的是，如果k_o=，即c_o=g（），那么dc_o/dγ=0。此时，最优初始消费不受人口增长率影响。（这个结论不是说与γ无关；实际上，dg（）/dγ<0。）

最后，我发现如果在某个c（c＜）上存在效用餍足，那么u=u（c）将取代式（5-28）中的。由于u不受γ的影响，分子的第二项就为零。此时，最优消费随着γ的增加而减少。

我们可以发现，最优的资本积累策略将把经济引向黄金法则路径，从而使得资本的边际产出或者说真实利率趋于人口增长率。有些读者可能会对经济体止步于黄金法则路径不解。按理说，只要利率高于单纯的时间偏好率（未来效用的折扣），社会的资本深化就应该继续下去。而现在时间偏好被假定为零，资本难道不应该深化到使得资本的边际产出为零吗？对于这个问题的回答有很多答案。首先，由于偏离黄金法则路径的增长路径是动态无效率的，因此，使得利率低于人口增长率的资本积累策略不可能是最优的。其次，就像我们在前面看到的一样，我们的效用函数中实际上隐含了个体的时间偏好，且其折扣率和人口增长率一样，都是γ。因此，资本深化到利率等于人口增长率的水平是合理的。不过，下面的这个分析将更加清晰地解释为什么黄金法则路径是“最优的”。

考虑当前这个模型的离散形式并假定社会偏离了原有的消费路径：c₀,c₁,…。具体而言，设想人口为L_o的社会中，每一个人都在第0期减少一单位的消费而在第1期多消费掉一单位的资本及其利息，同时保持其余消费路径c₂,c₃,…不变。那么，在第0期，由于每个人减少了一单位的消费而产生的效用损失为u′（c₀）。而在第1期，社会增加的总消费量为L_o（1+r），这里r为利率或者资本的边际产出。如果第1期的总人口L₁=L_o（1+γ），那么第1期的人均消费的增长为（1+r）（1+γ）^-1。由此产生的效用收益为（1+r）（1+γ）^－1u′（c₁）。如果原有的消费路径是最优的，那么，对原有消费路径的调整产生的净收益应该近似为零。因此，在每一个时点t上都有

我们可以发现，在任何一个c₀=c₁=c₂=…,r_t=r的稳态路径上，要满足这个必要条件只有两种可能：要么u′（c）=0，而这已经被对效用函数非餍足性的假设排除；要么r=γ，而这就是消费的黄金法则路径。并且，如果r=γ，那么满足黄金法则的稳态消费路径c₀=c₁=c₂=必然符合这个条件，从而是最优的。

式（5-31）是在满足约束条件式（5-23）和式（5-24）下最大化V的欧拉条件

的离散形式。式（5-32）的涵义和式（5-31）完全一样。

大卫·卡斯²³和库普曼斯²⁴研究了当未来效用的瞬时贴现率为一个正值ρ时的拉姆齐问题（同样假定γ≥0）。此时，拉姆齐问题可以表述为在满足约束条件式（5-23）和式（5-24）下最大化

尽管ρ被称为贴现率，我们应该牢记个体的效用实际上是以ρ+γ来贴现的。和通常的情形一样，卡斯和库普曼斯也假定u′（c）>0，u″（c）<0，并且u（c）是无界的。需要注意的是，因为ρ>0，瞬时效用的积分必然是收敛的（考虑到u和f是凹函数）。（需要指出的是，T.N.斯瑞尼瓦森（T.N.Srinivason）²⁵和宇泽弘文²⁶在更早的时候研究了一个类似的问题。他们在一个两部门模型中设定u（c）=c。他们在各自的文章中都得到了和这里的单部门模型类似的结论。此外，罗伊·拉德纳（Roy Radner）²⁷的多部门分析也与之类似，尤其是其中对“线性对数”情况的研究。）

在卡斯-库普曼斯模型里，如果用（1+ρ）^－t来替代e^－ρt，和式（5-31）对应的等式就是

此时，欧拉方程为

和式（5-32）一样，其涵义是人均消费的边际效用现值的减少率（du′/dt）/u′－ρ必然等于利率与人口增长率之差。

这两个等式都表明，由于对于所有的c都有u′（c）>0，唯一的最优稳态均衡路径必然要满足r=ρ+γ。如果在初始点就有r=ρ+γ，那么一个具有不变人均消费和不变利率的稳态路径必然满足欧拉方程。借用稻垣²⁸的说法，我称之为黄金效用路径。这样一条黄金效用路径（和黄金法则路径一样）也一定是一条特定的黄金时代路径。显而易见的是，当且仅当ρ=0，这条路径和黄金法则路径完全一致。当ρ>0，与黄金法则路径相比，黄金效用路径上的人均资本存量、人均收入以及人均消费都更低。

卡斯和库普曼斯还发现，如果一个经济的初始值低于黄金效用路径，那么该经济必然向该路径渐进单调收敛。当γ=0并且存在一个不变的时间偏好ρ，该路径上的利率必然向ρ渐进收敛。这和拉姆齐模型的结论完全一致。

那么，当ρ<0时是否有可能存在一个黄金效用路径满足r=ρ+γ<γ呢？答案是否定的。在满足本章的最优性准则的意义上，这样一条满足欧拉方程的稳态路径以及任何与之渐进的路径都不可能是最优的（总可以找到一条更优的路径）。实际上，正如库普曼斯所讲，当ρ<0时，最优的消费路径根本不存在。

回忆前面我们对最优性的定义。首先，我们设σ=－ρ。那么，一个可行的消费路径c（t）是最优的当且仅当对于所有其他可行路径c₀（t）（在某个时点上有c₀（t）≠c（t）），存在一个T⁰，使得对于所有T≥T⁰有

所以，给定k₀，如果最优路径存在，那么必然存在一个路径和某个T⁰，使得任意其他可行路径上有

而c*（t）就是这样的一条最优路径。

而库普曼斯证明了，如果ρ<0即σ>0时，对于所有可行路径以及所有常数N>0，都存在另一条可行路径c（t）以及一个常数T⁰，使得对于所有T≥T⁰有²⁹

因此，当ρ<0时不存在最优路径。

我们来看一看库普曼斯的直观解释。假如我们正在一条黄金法则路径上（该路径对于所有t都有u′（c）=u′（）），那么在一个某个很短的初始时段Δ减少一单位的人均消费会提高下一个时段Δ的人均消费。由此导致初始时段的效用损失为u′（）Δ而下一时段的效用收益为e^σtu′（）Δ。当σ>0时e^σtu′（）Δ必然大于u′（）Δ。这样一来，只要我们不断地推迟当前的消费，就能不断地得到效用水平更高的消费路径，所以最优路径是不存在的。（这个例子清楚地说明了存在黄金法则路径不是最优路径的情况，也给出了当ρ≠0时存在满足欧拉方程的路径不是最优路径的情况。）

在结束这一部分前，我们有必要简单地提及一个看似和当前讨论关系不大的结论。假设所有生产方面的方程，从式（5-19）到式（5-24）都成立，但是世界末日在t=T时必然来到，或者我们仅仅关心0≤t≤T时发生的事情。此外，在最后的时点t=T上，资本约束满足k（T）≥k_T≥0。

萨缪尔森³⁰和卡斯³¹研究了在0≤t≤T时的最优资本积累路径。萨缪尔森考虑了一个类似于式（5-25）的效用函数

他发现最优资本路径k（t）以悬垂曲线的形状凸向黄金法则路径。并且，当T充分大时，k（t）在绝大多数时段上都可以任意接近黄金法则路径。因此，黄金法则路径非常类似于冯·诺依曼在他的与之不同的模型中发现的“高速路”（参见萨缪尔森给出的关于“高速路”定理的参考文献）。与资本路径类似，利率r在大多数的时候也非常接近其在黄金法则路径上的值γ。

卡斯则采用了一个更加一般的效用函数

他发现，在这种情况下，最优路径满足r=ρ+γ≥0，并且具有和萨缪尔森路径完全相同的“高速路”性质。