技术进步是劳动扩张型的必要性

下面，我将说明为什么要假设技术进步为劳动扩张型。这实际上是为了确保黄金法则路径的存在性。这一点出自于宇泽弘文（Hirofumi Uzawa）提出的一个定理。¹⁸

黄金法则路径存在的前提是要存在一个由对数平行的黄金时期路径构成的连续统。在这些黄金时期路径上，产出、投资和消费都以共同的比率g指数增长。由于资本也必然在黄金时期指数增长，其增长率一定和投资增长率相同。

假定生产函数满足新古典假定（见式（1-1a））且是一次齐次的：

或者写成

这里

由于资本的产出弹性小于1，我们可以把人均产出表示为资本-产出比的函数：

这里

因为在黄金时期路径上，对于任意给定的资本-产出比，产出都以比率g指数增长，所以我们由式（1-38）可得

因此有

进一步，我们由式（1-39）可得

所以，Q（t）/L（t）A（t）可以表示为k（t）/A（t）的函数，即

根据规模报酬不变的性质，生产函数可以写成

这里A（t）L（t）=H₀e^gt。这表明，要确保黄金法则路径的存在性，技术进步必须是劳动扩张型的，且扩张劳动以固定比率增长。¹⁹（这里，我们不需要A（t）和L（t）都以指数增长，但如果L（t）以指数增长，A（t）必然以指数增长。）

罗宾逊-宇泽弘文定理²⁰证明了技术进步是劳动扩张型的充分必要条件是技术进步在任意点（任意资本-劳动比）上都是哈罗德中性（Harrod neutral）的。²¹因此，我们可以说，存在一个由对数平行的黄金时期路径组成的连续统，进而存在一条黄金法则路径的必要条件是技术进步在每一点上都是哈罗德中性的。

当然，劳动扩张型的技术进步是一种限制性很强的技术进步，不过，这并不影响到黄金法则这一概念本身。在很多具有非劳动扩张型技术进步的模型里，某一条增长路径上的消费在所有时点上都高于其他路径的情况依然会出现。和黄金法则类似的或者更一般化的概念，都可以运用于对增长路径动态效率的研究。