注释

1.在经过了长时间的思考、研究并听取了他人的看法后，我选择采用“高位”这个术语。高位和占优是非常接近的同义词，常常被不严格地混用。

2.如果某个黄金时期路径的初始资本存量高于黄金法则路径的初始资本存量（初始资本存量过高），那么该黄金时期路径必然被占优于黄金法则路径。一个未被明确表述但显而易见的结论是，初始资本存量过高的黄金时期路径必然被占优于这样的一条路径：在该路径上具有与之相同的初始资本存量，但在该路径的初始点上资本的过量部分被消费掉（或者丢弃掉），从而使得该路径上的资本存量在瞬间达到黄金法则路径上的资本存量，并由此成为一条黄金法则路径。（但这样的结论对于初始资本存量过低的黄金时期路径不成立，因为要在瞬时达到和黄金法则路径一致的资本存量需要放弃部分初始消费。）在后文中我们将进一步讨论这些问题。

3.如果在某些时点上有，那么，在这些时点上，式（3-9）中的等号应该变成大于号^[1]。

4.显然，这些平行路径有可能是不可行的，比如当δ的绝对值充分大时会产生负的资本存量或者使得投资量超过了总产出。此外，k（t）本身如果就不可行的话，平行路径就完全可能同样不可行。

5.有趣的是，在准黄金法则路径上，如果扩张劳动增长率提高，投资额就小于资本的市场收入，如果下降，则高于资本的市场收入，如果不变，则两者相等。微分式（3-9）可以发现这个结论。

6.这里利用了恒等式ε=-（1-α）/σ，其中，ε是g′（k）对k的弹性，即g″（k）k/g′（k）。ε是一个负数。

7.需要注意的是，当一个模型具有多种基本要素投入，那么，只有当生产函数是要素投入的一次齐次函数，技术进步是完全的要素扩张型，以及所有要素都以指数形式同速扩张时，黄金法则路径才存在。

8.需要注意的是，资本-劳动比或者扩张资本-扩张劳动比上的相对平行关系等价于资本存量上的相对平行关系。举例而言，如果资本-劳动比的变化率在两条路径上相同（这两条路径在变量资本-劳动比上相对平行），资本存量的变化率在这两条路径上必然也相同（在资本存量上相对平行）。这是因为资本存量的变化率等于资本-劳动比的变化率加上劳动增长率，而劳动增长率在这两条路径上是相同的。

9.在规模报酬不变、两要素投入且技术进步为要素扩张型的情况下，具有不变-ε的生产函数的形式如下：

[1] 原文为小于号，疑有误。——译者注