两个模型中的黄金法则路径

在新古典和哈罗德-多玛模型中，给定任意时点t，总产出Q（t）是资本K（t）和劳动L（t）的线性齐次函数，即

且

对任意m≥0都成立。在这里，产出可以被理解为生产能力。

在式（1-1）中，技术进步完全是劳动扩张型的，即时间项t仅仅进入函数的第二项，而非F［A（t）K（t），B（t）L（t）］这样的多要素扩张型，或者F［K（t），L（t）；t］这样的更加一般的形式。这意味着技术进步实际上等价于增加了劳动供给。常量λ测度了劳动扩张的增长率，而e^λtL（t）被称为扩张劳动。（我将在后面讨论完全的劳动扩张型技术进步所需满足的条件。）

劳动供给是无弹性的，劳动力总量按外生的速度γ指数增长，即

也就是说扩张劳动以速度γ+λ指数增长，γ+λ被假定为正。⁶

资本以速度δ折旧。如果用I（t）表示总投资，＝dK/dt表示净投资，我们有⁷

最后，消费C（t）是非负的，它等于产出和总投资之间的差额：

这里的C（t）代表的是给定产出和总投资后消费的最大可能值。因为一个社会常常会损耗一部分产出，实际的消费通常会小于这个值。（在国民收入计算中，这部分损耗的产出常常被算作投资，所以实际消费一定等于未被投资的产出。）就像前面提到的，Q（t）是给定K（t）和e^λtL（t）的条件下的产出的最大可能值（生产能力），因此，C（t）是在给定K（t），e^λtL（t）和的条件下，任意时点t上消费的最大可能值。

新古典模型：在新古典的理论框架下，我们设定生产函数满足如下的“新古典”性质：两次可微（边际产量曲线是光滑的），严格凹的（边际产量递减）以及对任意项的一阶导数为正，即

由于生产函数规模报酬不变的性质以及劳动的指数增长，我们可以把总产出表示为

因此，如果用k（t）表示单位扩张劳动的资本拥有量，即

并且定义

我们可以把任意时点t上的生产函数表示为⁸

其满足

这说明单位扩张劳动产出是单位扩张劳动的严格递增凹函数。一阶导数f′（k（t））是单位扩张劳动资本拥有量的边际产出，它等于总资本的边际产出F/K。⁹

黄金时期路径中的“黄金时期”是本文中的一个基本概念。¹⁰一个黄金时期的增长路径意味着在这条路径上，所有的变量都按照固定的比率增长。你们将看到，具有正投资的黄金时期增长等价于k（t）为一个正的常数。

首先，我们要证明，如果在一个路径上的k（t）为正的常数k>0，那么该路径为一个黄金时期增长路径。当然，一个前提是k不能太大，以至于破坏了可行性约束C（t）≥0。（每一个k都对应了不同的黄金时期增长路径。）

显然，此时产出将以扩张劳动的增长率或者说增长的“自然率”g=γ+λ指数增长：

而资本存量也以这个速度增长：

由于=gK（t），根据式（1-3），我们可以看到投资也以自然率增长：

既然投资和产出都以自然率g增长，根据式（1-4），消费也将以速度g增长：

（总）投资-产出比s为常数，即

资本-产出比x（以及它的倒数：资本平均产出）为常数，即

资本的边际产品也为常数：

在完全市场条件下，资本收入所占份额a等于资本的产出弹性，因此，其也为常数：

当然，还有很多其他的变量可以考察，诸如劳动的边际产出、单位劳动产出、单位扩张劳动产出等。我们很容易发现，所有这些变量都以固定的比率在变化，所以，一个固定的k（t）必然导致该路径上出现黄金时期增长。

反过来，我们也可以证明，在这个模型中，每一个具有正投资的黄金时期路径都必然产生一个固定的k（t）>0。根据定义，黄金时期增长要求所有变量都按照固定的比率在变化；因此，如果投资是正的，投资和产出必然以某个相同的比率h在增长，即

而资本也必然以某个固定比率m增长，即

因此根据式（1-3），我们有

这说明I（t）和K（t）必然以相同的比率增长，即m=h。根据生产函数规模报酬不变的性质以及劳动的边际产出为正的设定，资本和产出的增长率必然和扩张劳动的增长率相同。因此，我们有h=γ+λ=g。至此，我们证明了黄金时期增长和固定k（t）的等价性。

以上证明还显示了黄金时期增长路径的“对数平行性”。¹¹具体而言，因为任意的一条黄金时期路径上的消费都以自然率γ+λ增长，所以，和特定增长路径对应的消费路径永远不会和另一条对应其他增长路径的消费路径相交。这意味着可能存在这样一条黄金时期路径——它在所有时点上的消费都高于其他路径。由于s和f′（k）在黄金时期路径中为常量，我们将把消费最大化的黄金时期增长路径——黄金法则路径——表示为这两个常量的函数。

我们首先假设，如果最大化消费的黄金时期路径存在，那么k大于零（由此，K（t）和I（t）必然也同样大于零）。换言之，如果最大值存在，那么k应该是内点而非角点（在角点上k=0）。在该假设下，如果一个最大化消费的路径存在，那么C（t）对k的一阶导数必然为零，即

由此可得

这说明在黄金法则路径上资本的边际净产出f′（k）-δ=（F/K）-δ等于黄金时期路径上的增长率。¹²式（1-22）的左边也可以被解释为投资的社会回报率。¹³因此，该结论说明，如果消费的最大化值在黄金时期路径上是内点解，那么，在该路径上投资的社会回报率等于该路径上的增长率。由此，我们严格地表述了黄金法则路径的特征（这可能也是最好的一种表述）。¹⁴

把式（1-22）两边同乘以资本-产出比并移项，我们可以得到其他的一些技术性结论：

由此可得

这说明在具有内点解的黄金法则路径上，投资率等于资本的产出弹性。这一特征是我和斯旺（Swan）共同发现的。

假如一个经济是充分竞争的，并且生产中不存在外部性，那么式（1-22）和式（1-24）也可以用市场均衡的术语来表述。在完全竞争假定之下，f′（k）是资本的毛租金率，而f′（k）-δ等于利率。这样式（1-22）就表明，在具有内点解的黄金法则路径上，利率等于自然增长率。另外，式（1-24）表明投资率等于资本总收入所占份额a，或者说净投资等于资本净收入。

式（1-22）和式（1-24）是一个黄金时代路径上消费高于其他任何路径的必要条件。而资本的边际生产力递减的假设意味着f（k）是严格凹函数，即对于任意k>0都有f″（k）<0。因此，最多存在一个路径满足式（1-22），而且在这条路径上，我们得到的是最大化而不是最小化的消费。由此可知式（1-22）或式（1-24）是一个黄金时代路径上消费最大化的充分必要条件。

需要注意的是，假如γ+λ=0（这不符合我们的假定），那么任何一条黄金时期路径都是稳态的。在这种情况下，稳态路径满足资本的边际产出为零，即f′（k）-δ=0，且该路径满足黄金法则（这种情况有可能出现，当且仅当f′（∞）<δ。如果f′（∞）=0，这就要求δ>0）。毫无疑问，古典经济学家都清楚，这种零利率的熊彼特状态中的消费将高于其他任何稳态路径中的消费。

现在让我们来研究一下黄金法则路径存在的条件。为此，我们将借助图1-1。该图由艾弗·皮尔斯（Ivor Pearce）首先用于黄金法则的分析。¹⁵在图1-1中，黄金时期中的单位扩张劳动产出、单位扩张劳动投资以及由式（1-12）描述的单位扩张劳动消费的变化都被清楚地表示出来了。

图　1-1

在图1-1中的上存在一个内点最大值，在该点上两条曲线的斜率是一样的，即f′（k）=（g+δ）。我们可以清楚地看到，假如改变这两条曲线的形态，满足黄金法则的消费最大化的内点解就不一定存在了。这里包含了两种不存在的情况。

第一种情况就是内点解和角点解都不存在。在这种情况下，

如此一来，曲线f′（k）在任意k上都比曲线（g+δ）k陡峭，而它们之间的距离必然随着k的增加而增加。不过，这种情况要出现，就必须假定即使不劳动也会有产出。我们来看一看为什么是这样。首先，式（1-25）成立当且仅当

或者等价地

因为

我们有

显然，必须存在F（K，0）=0的可能，我们才有F（1，0）=0。

因此，

仅当劳动是一种不必要的生产要素时成立。

另一种情况就是不存在内点解，但存在角点解。如果

那么，这种情况就会出现。此时，曲线f′（k）在任意k上都比曲线（g+δ）k平缓。因此，k（t）=0将成为黄金法则路径。这种情况一旦出现，又要分两种子情况来讨论。

首先，如果f（0）>0，那么这说明即便不投入任何资本也可能会有正的产出。而产出和消费将与任意黄金时期路径上的情况一样，以自然率指数增长：

因此，和k=0对应的消费路径平行于其他任意黄金时期消费路径。根据式（1-31），该路径上的消费是最大化的，也就是说假如出现了一个k>0，将其投入消费要比投入生产更合算。因此在黄金法则路径上，对任意时点t都有k=0。¹⁶

另一种子情况就是f（0）=0。在这种情况下，曲线f′（k）在任意k上都比曲线（g+δ）k要低（因为这两条曲线都从原点出发，且曲线（g+δ）k在任意的k＞0上都比曲线f′（k）陡峭）。这说明在任意k>0上消费都是负值，因而不存在可行的黄金时期路径。因此，唯一的可行路径是k=0。此时，产出、消费、投资和资本存量都为零（显然，这些变量的变化也是常量）。因为这是唯一的黄金时期路径，而且也同样最大化了消费，所以也被人认为是黄金法则路径。不过这条路径也存在两个问题：第一，由于不存在多条黄金时期路径，也就不存在有一条路径上的消费在任意时点上都高于同时点其他路径上的消费的情况。第二，某些时候在黄金法则路径上因为k以黄金法则水平为上界而存在无效率，并且这些黄金法则路径在这种情况往往是不可行的。因此，我认为可以把这种情况归为不存在黄金法则路径。

总而言之，如果对于充分大的k，资本的边际产出小于g+δ，而对于k=0，资本的边际产出大于g+δ，那么必然存在一个黄金法则路径。此外，如果在资本存量为零的情况下依然可能有正的产出，那么也必然存在一个黄金法则路径。

哈罗德-多玛模型：新古典理论的假定（1-1a）并不是黄金法则路径存在的必要条件。¹⁷要理解这一点，我们可以去掉对生产函数二次可微，严格凹以及在定义域上任意一点边际产出为正的假定。具体而言，我们可以看下面的这个哈罗德-多玛生产函数

对于式（1-2），式（1-3）和式（1-4），我们给予保留。

根据式（1-2）以及哈罗德-多玛生产函数规模报酬不变的性质，我们可以把该生产函数重写为

或者

这里

我们可以清楚地看到，当k（t）等于任意常数k>0，只要C（t）≥0成立，经济都必然在黄金时期路径上。由式（1-34）可知，产出、资本和投资都以固定比率g=γ+λ在增长，因此消费也以同样比率增长。和之前一样，s=（g+δ）k/f（k）。当αk≤β时，劳动过剩，资本被充分利用，因此k/f（k）=K（t）/Q（t）=α^-1。当αk>β时，资本过剩，劳动被充分利用，因此k/f（k）=K（t）/Q（t）=kβ^-1。资本的边际产出f′（k）是一个常量：或者为α（劳动过剩），或者为零（资本过剩）。如果劳动过剩，利率为α-δ；如果资本过剩，利率为-δ。如果劳动和资本都不过剩，利率可以是这两个值之间的任意一点。

反过来，如果经济处于一条具有正投资的黄金时期路径上，那么k（t）必然为一个正的常数。如果投资（以及产出和消费）以固定比率g增长，而资本也在指数增长，那么，资本必然同样以比率g增长。假如g小于γ+λ，劳动将过剩，并且失业率将以非指数的形式在升高。这就违背了黄金时期路径的定义。假如g大于γ+λ，劳动最终将短缺，这样产出以比率g增长将变得不可能。由此可知，在具有正投资的黄金时期路径上，资本必然以比率γ+λ增长，所以k（t）必然为一个常数。总而言之，k（t）为一个正的常数是经济处于具有正投资的黄金时期路径上的充分必要条件。

要分析哈罗德-多玛模型里的黄金法则路径，我们需要借助于图1-2。图1-2与图1-1的差别仅在于f（k）现在有了min［αk，β］这一具体形式。因为式（1-12）依然成立，所以我们有

图1-2显示，在黄金时期路径上最大化消费的内点解为。在这条路径上，资本和劳动都被充分利用。如果资本-扩张劳动比提高了，资本将过剩。反之则劳动将过剩。由此可知，如果在哈罗德-多玛模型里存在黄金法则路径，那么，该路径上的资本和劳动都将得到充分利用。

图　1-2

那么，在这个模型里，利率和资本收入份额在黄金法则路径上是多少呢？在这条路径上，投资率为（g+δ）/α，增长率为γ+λ。然而，利率和资本收入份额是不确定的：资本收入份额在0和1之间，而利率在0和α-δ之间。尽管如此，这条黄金法则路径是唯一的黄金时期路径，因为只有在这条路径上才可能有资本收入份额等于投资率，以及利率等于增长率。在其他具有正投资的黄金时期路径上，资本收入份额和利率都是确定的，从而无法满足这些等式。由此看来，哈罗德-多玛模型里的黄金法则路径和新古典模型里的情况没有实质性差别。

和新古典模型中的情况类似，哈罗德-多玛模型中也会出现黄金法则路径不存在的情况。我们很容易发现，在图1-2中，只要α＜g+δ，就不存在可行的黄金时期路径，因为所有k>0的路径都将导致负消费。