事后事前具有同等替代可能性

在第一种“古典”或者“资本体现型”模型中，资本和劳动在事前和事后具有同等的替代可能性。

在这个模型中，根据之前的假设，描述产出、劳动和资本关系的生产函数可以写为

其中，Q_t（v）为第t期的产出，I_v为第t期被生产出来的资本，λ－1是劳动扩张的增长率。假定F（I_v，λ^vL_t（v））是I_v和L_t（v）的非递减连续一次齐次函数。

我们还假设资本路径上对总量劳动

的雇佣是充分的。

而总量产出为

不过，我们感兴趣的是总量产出的最大值。因此，设

即劳动的投入将最大化总量产出。

基于这些假定，我们可以把总量产出表示为各个独立变量的函数：

现在让我们假设，如果对于所有i有I_t－i=I_t（1+g）^－i，这里g=γλ－1，则有Q_t－i=Q_t（1+g）^－i对所有i成立。也就是说，如果I_t以“自然”率几何增长，那么Q_t以同等速率增长。我们假定这条黄金时代路径对所有I_t，0≤I_t≤Q_t，都存在。¹

如果投资以“自然”率增长，由式（7-6）和恒等式C（t）=Q（t）-I（t）可得

假定内点路径存在，要找到最大化消费的黄金时代路径，我们求C_t对I_t的导数并令其为零可得：

或者

式P/I_t-i是资本的边际产出，因此（P/I_t-i）I_t-i是准租金，也就是资本的收入。由sQ_t-i=I_t-i和（1+g）^-i=Q_t-i/Q_t可知资本收入所占比重为

由式（7-8）和式（7-9）可得

即，当C_t/I_t=0时有黄金时代路径上的投资等于资本收入份额。

詹姆士·托宾证明了式（7-10）等价于利率等于经济增长率。这是描述黄金法则路径的另一种方式。具体的证明如下：首先，假定单期利率等于凯恩斯所说的资本边际效率。后者被定义为满足

中r的值。这里

其中p_i表示一单位新资本在未来的租金率。

第二，我们假定在黄金时代路径上单期的资本租金率不变。换言之，当前一单位已经被使用了i年的资本品的租金率等于当前一单位新资本i年后的租金率。即

利用这个公式，用g代替r可得

因此，如果经济体运行在内点黄金法则路径上，使得α=s，则有V（g）=1。由V（g）=1与式（7-11）可知g=r。所以，在黄金时代路径上有α=s。

由此，我们可以看到，在这个古典模型中，如果存在一个黄金时代路径满足α=s从而有r=g，那么，该路径是一条最大化消费的黄金时代路径。

［例7-1］古典柯布-道格拉斯模型

罗伯特·索洛^2,3发现，如果生产函数具有如下形式

则有下面的总量生产函数：

其中，

因此，在黄金时代路径上有

这里，求解积分部分并将I₀=sQ₀代入可得

由式（7-17）可得

以及

因此，在时点零上，黄金时代路径上的消费为

对C₀求s的导数并令其为零，我们可以发现在C₀取最大值时，有s=α。显然，如果劳动报酬按边际产出来支付，那么α就是资本收入的份额。这一点我们可以从如下总量生产函数中看出：

由此还可以看出，在黄金法则路径上储蓄的回报率（市场利率）等于黄金时代路径上的增长率。

［例7-2］古典哈罗德-多玛模型

在这个模型中，古典生产函数为

稻田⁴和索洛⁵等人都研究过该模型。尽管缺乏资本和劳动的替代性，该模型依然很有意义。这是因为该模型仍然是新古典风格的：要素收入的份额是确定的，并且，如果技术进步是如式（7-20）那样完全劳动扩张型的，那么在很大的储蓄率变化范围内都存在黄金时代路径。

索洛等人已经证明，如果在一条现存黄金时代路径上储蓄率等于资本收入份额，或者等价地，市场利率等于黄金时代路径上的增长率，那么该路径就是黄金法则路径：该路径最大化了消费。证明的过程作者可以自行阅读全文。