注释

1.E.S.Phleps,“The Golden Rule of Accumulation:A Fable for Growth-men,”American Economic Review,Vol.51（September 1961）,pp.638-643.

2.一个黄金时期路径是这样一种增长路径：在该路径上，所有的变量都以固定比率变化。在本文，我们可以看到种种“平衡”和“半平衡”增长的其他性质都与黄金时期路径的这个性质相关。

3.M.Allais,“The Influence of the Capital-Output Ratio on Real National Income,”Econometrica，Vol.30（October 1962）,pp,700-728;J.Desrousseaux,“Expansion stable et taux d’interet optimal,”Annales de Mines（November 1961）,pp.31-46;J.Robinson,“A Neoclassical Theorem,”Review of Economic Studies,Vol.29（June,1962）,pp.219-226;T.W.Swan,“Of Golden Ages and Production Functions”in K.Berrill,ed.,Economic Development with Special Reference to East Asia:Proceedings of a Conference Held by the International Economic Association（New York:St.Martin’s Press,1964）,pp.3-16;C.C.von Weizsacker,Wachstum,Zins und Optimale Investifionsquote（Basel:Kyklos_Verlag,1962）.

4.下面的一些重要贡献也应该被提及：T.N.斯里尼瓦桑（T.N.Srinivasan）在“Investment Criteria and the Choice of Techniques of Production”（Yale Economic Essays,Vol.2（Spring,1962）,pp.59-115.）一文中研究了一个使用固定参数技术的劳动力不断增长的经济，并发现在这样的经济中存在一种人均消费最大的可能。M.J.贝克曼（M.J.Beckmann）在一篇未发表的名为“Economic Growth and Wicksell’s Cumulative Process”（Cowles Foundation Discussion Paper 120（June 1961））的文章中讨论了具有柯布-道格拉斯形式的生产函数的情况。L.M.柯克（L.M.Koyck）和马利安·霍夫特-威尔瓦利斯（Maria J.’t.Hooft-Welvaars）在“Economic Growth,Marginal Productivity of Capital and the Rate of Interest”（F.H.Hahn and F.P.R.Brechling,eds.,The Theory of Interest Rates:Proceedings of a Conference Held by the International Economic Association（New York,St.Martin’s Press,1965））一文中讨论了柯布-道格拉斯生产函数的各种变形情况。

5.需要注意的是，只有一个经济体在初始状态下就处于黄金时期路径上时，实施让投资额等于资本收入额的政策才可能让该经济体处于黄金法则路径上。黄金法则路径必然是投资额等于资本收入额的黄金时期路径，但并不是所有投资额等于资本收入额的路径都是黄金法则路径。

6.在当前模型中，我们假设扩张劳动的增长率为常数，但并不要求技术进步率和劳动增长率同时为常数。

7.这个假设只是为了让模型简单化。设定资本的折旧是其使用时间长短的函数是一个具有足够一般性的假定。我相信，即使假定折旧是利率的函数也不会影响到本模型的结论。另外，在本书中，在变量上加一个点，比如，代表的是这个变量的绝对时间变化率，即该变量对时间变量的全导数dX/dt。

8.F_k和F_kk分别为函数的一阶和二阶偏导数，即F/k和²F/k²。

9.我们可以从下面的等式看到这一点：。

10.黄金时代这个提法是由琼·罗宾逊提出来的。因为她认为这是一种“现实经济体中难以达到的理想状态。”The Accumulation of Capital（Homewood,Illinois:Richard D.Irwin,Inc.,1956）,p.99.

11.例如，在一条黄金时期路径上的logK（t）和另一条黄金时期路径上的相同变量相差一个常数。这种情况下，我们说这些变量之间是对数平行的。

12.索洛在他的“Comment”（Review of Economic Studies,Vol.29（June 1962）,pp.255-257）一文中对这一结论给出了一个被普遍认可的解释。我们假设在时点t=0存在某个初始的资本存量。在这个时点上，我们需要进行投资以使当前的资本存量达到维持黄金时代增长的水平。考虑初始资本的一个微小增加ΔK（0）。要实现这个增加，我们需要以ΔI（0）=（g+δ）ΔK（0）来提高投资率，从而使资本存量以比率g增长。初始资本的增加会使产出增加ΔQ（0）=（F/K）ΔK（0），消费增加ΔC（0）=ΔQ（0）-ΔI（0）=［（F/K）-（g+δ）］ΔK（0）。只要（F/K）＞（g+δ），提高初始资本存量总是有利的。当K（0）不断提高，直到（F/K）-（g+δ）=0时，在黄金时期路径上的消费将实现最大化。这就是式（1-22）的直观涵义。不过，读者不能因此而认为，如果我们需要让资本以另外一个比率h≠g增长，那就存在一条满足（F/K）=h+δ的消费最大化的路径。这是因为在当前模型里不存在一条既能满足资本的边际产品等于h+δ，又使得资本能以h≠g增长的路径。不过，如果我们放弃固定比率的设定（让增长率成为一个变量），那么在当前的模型以及其他更一般的模型里，符合这两个条件的路径还是存在的。在后面的文章里，我们称这种路径为一般化的黄金法则路径。

13.在离散时间模型里，给定其他各期的消费水平不变，t期的单期社会回报率为

在连续时间模型里，类似的概念就是瞬时社会回报率。见索洛的“Capital Theory and the Rate of Return”（Amsterdam:North-Holland Publishing Company,1963）一文。本人对美国实物投资的社会回报率的估计结果发现，该回报率在20世纪50年代显著地高于经济长期增长率。见菲尔普斯的“The New View of Investment”（Quarterly Journal of Economics,Vol.76（November 1962）,pp.548-567），以及埃德蒙德和夏洛特·菲尔普斯（Charlotte Phelps）的“Factor-Price-Frontier Estimation of a Vintage Production Model of the U.S.Non-Farm Business Sector”（Review of Economics and Statistics,Vol.48（August 1966））。

14.在我第一篇关于黄金法则的论文里没有提到这个结论。因为我担心读者会把黄金法则路径和其他完全不同模型中的冯·诺依曼（von Neumann）路径相混淆。

15.I.F.Pearce,“The End of the Golden Age in Solovia,”America Economic Review,Vol.52（December 1962）,pp.1088-1097.

16.在这个路径上，投资和资本收入都为零，利率与自然增长率也相等。

17.琼·罗宾逊在“A Neoclassical Theorem”（Review of Economic Studies,Vol.29（June,1962）,pp.219-226）一文中研究了一个特定经济中的黄金法则路径的存在性。该经济具有多种资本品并采用复杂的固定参数技术。对于这个问题的进一步讨论可以参考萨缪尔森的“Comment”（Review of Economic Studies,Vol.29（June,1962）,pp.251-254）一文。

18.H.Uzawa,“Neutral Invention and the Stability of Growth Equilibrium,”Review of Economic Studies,Vol.28（February,1961）,pp.117-124.

19.在柯布-道格拉斯情况下，生产函数K^α（AL）^1-α可以写成（BK）^αL^1-α的形式。这里的关键是看生产函数能否改写成式（1-44）的形式。

20.Uzawa,op.cit.,and J.Robinson,“The Classification of Inventions,”Review of Economic Studies,Vol.5（February 1938）,pp.139-142.

21.技术进步被认为是哈罗德中性的当且仅当利率或资本边际产出为常量时资本收入份额（资本-产出比）是固定的。在下面的文章里，我们将详细阐述各种各样的“中性”和技术进步类型。