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移除书签准黄金法则路径
在这个部分，我假设仅存在一种可变的资源——劳动，并且劳动是时间的连续可微函数。总产出是资本与劳动的一次齐次函数。（只要生产函数是正齐次的，准黄金法则路径的存在性和基本特征不受影响。）该生产函数二次可微且资本与劳动的边际产出递减。存在正的技术进步，但放弃标准的黄金法则模型假设，即技术进步完全体现为劳动以指数形式扩张（标准的黄金法则模型假设蕴含了这样一个结果，那就是存在一个“自然”的，或者说，黄金时期的增长率）。因此，生产函数
具有如下性质：
在本文开始部分的分析中，我们将对技术进步的要素节约特征加以约束。
完全的劳动扩张型首先，让我们继续假设技术进步是完全的劳动扩张型，但放松扩张劳动以指数形式增长的假定。这样，我们的生产函数可以写成如下形式：
这里A仅仅是时间的递增连续可微函数，并且对所有的t有
这里变量头上加点表示该变量随时间变化而产生的变化（该变量对时间的一阶导数）。式（3-4）的左边表示扩张劳动的增长率。这个增长率有可能会改变。
现在，我们把消费表示成资本-扩张劳动比k及其变化的函数。假设折旧率为零，我们有
或者
方括号中的第一项是单位扩张劳动产出。它是单位扩张劳动资本的函数。利用生产函数是一次齐次的假设，我们有
且g′（k）就是资本的边际产出GK。边际产出递减意味着g″（k）<0。
对k求关于时间t的微分可得
这表明k的增加等于单位扩张劳动投资减去其中保持k不变的数量。
将式（3-6）和式（3-7）带入式（3-5a）可得
我们因此可以得到这样的命题：在资本-扩张劳动比这一变量上，如果存在一个优于其他绝对平行路径的高位路径，那么在且仅在该高位路径上有资本边际产出等于扩张劳动增长率，即
反过来，在资本-扩张劳动比这一变量上，如果存在一条路径满足式（3-9），那么该路径必然高于其他与之绝对平行的路径。换言之，资本边际产出等于扩张劳动增长率是成为高位路径的充分必要条件。这个命题的成立有赖于在所有时点上都有这个假设3。
考虑任意一个可行或者不可行路径k（t）。与之绝对平行的路径可以表示为
这里δ是一个可正可负的常数4。需要注意的是，由于在所有时点上都有，由式（3-8），和任何给定的δ（δ可正、可负、可为零）对应的消费可以被表示为
现在假如存在一条路径相对于其他平行路径处于高位，且，那么函数C（t）对δ求导必然有在所有的时点上都为零。求出这个导数并令其为零，我们有
这表明一条路径，相对于其他与之绝对平行的路径，处于高位的必要条件是在所有时点上资本的边际产出等于扩张劳动的增长率。由于g（k）是严格凹函数，即资本的边际生产力递减，这就保证了根据式（3-12）得到的一定是消费的最大值，所以式（3-12）不仅仅是一个必要条件，还是充分条件。显然，式（3-12）单独决定了特定的平行路径族k（t），在这个平行路径族中，其中的一条路径相对于其他路径处于高位。
在前面，我已经说明了把这种高位路径称为准黄金法则路径的原因。然而，标准的黄金法则路径可以被看成是准黄金法则路径的特例（具有不变扩张劳动增长率5的高位路径），因此，这种高位路径在某种意义上也是一般化的黄金法则路径。
当>0时，准黄金法则路径存在的条件与具有内点解的黄金法则路径存在的条件完全类似。当>0时，式（3-9）所定义的路径存在，当且仅当
如果左侧的不等式在某些时点上不满足，那么有限的不存在。如果右侧的不等式在某些时点上不满足，那么最大值将是角点解=0。
不能把存在性和可行性相混淆。可能会有这样一种情况出现：在一些时间区间上，扩张劳动增长率与资本边际产出如果相等，那么就会使得投资额超过产出。（在标准的黄金法则路径模型中，由于扩张劳动的增长率不变，不可能出现可行性的问题。）但是，即便准黄金法则路径是不可行的，我们也可以利用它来证明一个关于动态效率的定理。这一点我会在第4章中展示。
目前，我们考虑的仅仅是绝对平行的路径关系。我们很自然会想到去考察在资本-扩张劳动比这个变量上的相对平行的路径关系。这种平行关系等价于资本存量上的相对平行关系。不过出于节省篇幅的考虑，我们先推迟一下对这种平行关系的讨论，以免带来很多重复工作。
基于同样的考虑，我们也暂时不考虑在诸如资本-产出比和利率等变量上分析与之对应的高位路径。相关的工作我们将放在一个更加一般的模型中去进行。
要素扩张型假定技术进步是要素扩张型的，并且允许出现正的资本扩张。这样，生产函数可以写成如下形式
这里B和A都仅仅是时间的递增连续可微函数。另外，我们假设，对于所有的t有式（3-15）：
由消费关系等式
我们有
由于规模报酬不变，单位扩张劳动产出可以被表示为扩张资本-扩张劳动比k的函数，即
这样，资本的边际产出就是
边际生产力递减意味着g″（k）<0。
对k求关于时间的导数，我们有
由式（3-17），式（3-18）和式（3-20），我们可得
利用完全类似的方法，我们可以从这个等式中得出和上一部分中的那个命题类似的命题，即在扩张资本-扩张劳动比这个变量上，路径k（t）为高位路径的充分必要条件是资本边际产出等于劳动力的增长率加上劳动的“净”扩张率。这样，高位路径可以由下面的等式来定义。
这就是技术进步为要素扩张型的情况下的准黄金法则路径。
和前面的情况一样，我们需要讨论其存在性。证明的窍门就在于，如果g′（k）>0并且随着t→∞有B（t）→∞，那么，对于所有的有限k，式（3-22）的左边最终（如果不是立刻）将超过右侧。这种情况下，在所有的时点上都不存在式（3-22）定义的路径。这里，如果随着k→∞，要素替代弹性的极限超过1，那么会有g′（∞）>0。
至于可行性，假设
我们可以发现一些有趣的结论。微分式（3-22）并利用式（3-23），投资-产出率和式（3-20），可得
这里是投资率，是资本收入份额，是替代弹性，而是准黄金法则路径上的资本-产出比6。我们可以马上发现的是，给定式（3-23），在这条路径上投资额超过了资本所得。
现在假设对于所有k都有σ<1。由于是递增的（根据式（3-22））和σ<1，所以是递减的。既然资本扩张率是正的而且σ<1，技术进步必然在哈罗德意义上是资本节约型的；由此，在这条利率不变的路径上，必然是递减的。如果σ<1，那么和必然随着t→∞趋于0。但如果σ不受限制并且随着k→∞而趋于1，那么将趋于一个处于0和1之间的常数。总之，无论何种情况，准黄金法则路径都是可行的。
式（3-22）定义的准黄金法则路径还存在两个问题。一是式（3-22）的右边可能为负，在这种情况下准黄金法则路径将不存在（除非当k很大时，g′（k）成为负值。不过这和假设矛盾）。二是，至少在某些情况下，准黄金法则路径是一条无效率路径：我们将在第4章中看到符合条件但利率过低的情况。所以，我们需要寻找其他和黄金法则路径相似的路径。但是，就像之前说的那样，我把这些放在更具有一般性的模型中去推导。
任意形式的技术进步现在我们考虑一个更加一般的，如式（3-1）所示的生产函数
当然，这种任意形式的技术进步包含了我们已经讨论过的两种特例。
现在，消费可以被表示为
方括号中的第一项是单位劳动产出，它可以被表示为资本-劳动比k和时间的函数，即
资本的边际产出FK等于fk。同样地，我们有
利用式（3-25），式（3-26）和式（3-27）可得
这里的结论和前面部分完全类似：在资本-劳动比这个变量上，一条增长路径相对于其他与之绝对平行的路径居于高位的充分必要条件是满足
也就是说，资本边际产出必须等于劳动力的增长率。
对这种新的准黄金路径法则的存在性的分析类似于对要素扩张型情况下存在性的分析：对于所有k，如果fk（k，t）随着t→∞无限增加，那么该路径存在的必要条件是fk（∞，t）=0。
下面简略地讲一下可行性的问题。假设。微分式（3-29）并利用式（3-27）、式（3-29）以及s的定义和投资-产出比，我们有
因此，如果fkt>0（这是个合理的假设），那么在这条路径上投资额将超过利润。另外，如果技术进步对所有σ都是资本节约的，那么和必然下降，最终可以由此推断出可行性的存在性。
读者可能会注意到，这种情况下的准黄金法则路径并不是一般化的黄金法则路径：即使技术进步是完全的劳动扩张型并且是以指数形式在扩张，这种准黄金法则路径也和标准的黄金法则路径不一致。这是因为在标准的黄金法则模型中，在资本-（非扩张的）劳动比这个变量上，处于低位的黄金时期路径和黄金法则路径之间是相对平行的关系，而不是这里所研究的绝对平行关系。我将在本文的后半部分对相对平行关系进行讨论。
这种准黄金法则路径和之前讨论的路径一样，在存在正的技术进步的假设下，至少在某些情况下是无效率的：在这条路径上资本过度深化了。尽管如此，正如我们将在第4章里看到的，对这种路径的分析有助于显示其他路径的无效率性。
到目前为止，我们已经研究了在资本-劳动比和扩张资本-扩张劳动比这些变量上的（绝对）平行路径。现在，进一步分析在产出-劳动比和工资率这些变量上的高位路径不是不可能。问题是，我认为最终结论将变得无比复杂以至于没有什么价值。此外，当前的分析本身就是基于一个单一可变（劳动）投入模型，在这种模型上进一步拓展分析的意义不大。所以，我们现在要转向分析一个更为一般的模型。在一般化的模型中，我们将研究资本存量、资本边际产出以及单位资本产出这些变量上的平行关系。
