技术进步与指数型人口增长

在这一部分的动态经济模型中，我首先假定在生产方面，人口以具有不变增长率的指数形式增长，技术进步为劳动扩张型，并且劳动扩张率是不变的。

人口或者说劳动的增长率γ是一个非负的常量，人口数量

该生产函数和式（5-20）的差别在于，现在包含了一个固定的劳动扩张率λ，即

如果我们用k（t）来表示资本-劳动比（很多文献用这个变量来方便地表示资本-扩张劳动比，但在这里不是），那么有

其中

并且f（0）=0，f′（k）>0，f″（k）<0，f′（∞）=0。

由于产出等于消费加投资，我们有

其中

由于，我们有

在任何黄金时代路径上，c（t），k（t）以及都以指数形式e^λt增长。因此，根据式（5-42），如果黄金法则路径存在且是内点解，那么有。这里，即资本的边际产出（利率）f′［e^－λtk（t）］等于黄金时代的增长率λ+γ。现在开始，我们假设黄金法则路径存在。

除了约束条件式（5-42），我们还有初始条件

式（5-42）和式（5-43）共同构成了最优储蓄问题的约束条件。

给定上述的对生产领域的设定，对偏好施加什么条件才能使得最优路径在时成为资本积累的黄金法则路径，并在时渐进地趋于黄金法则路径呢？作为对我的论文的回应，艾弗·皮尔斯³²提出了这个问题。具体而言就是：如果某个经济体为了履行对未来人口的义务，而在初始时点将经济约束在黄金法则路径上，即k₀=（0），并且在终结时点T>0时依然将其约束在黄金法则路径上，即k（T）=（T），那么在这个时段里，经济体在黄金法则路径上运行是不是最优的？精确地讲，在区间0≤t≤T内所有的时点上都有k（t）=（t）是不是最优的？皮尔斯找到了这样一个效用函数：最大化区间内效用的路径和黄金法则路径不一致。这说明即便初始点和终结点都在黄金法则路径上，经济体沿着黄金法则路径运行也未必是最优的。具体而言，他指出，当社会效用函数中人均消费的边际效用不变，即

社会最优的资本存量在终结点来到前将高于黄金法则路径上的资本存量。在这个最优路径上，利率应该以最快速度跌到γ（低于黄金法则路径上的λ+γ），并一直保持下去直到终结点到来。在终结点上超过L（T）（T）的资本存量会在瞬时被消费掉。³³（值得注意的是，随着T趋于任意大，经济体也会在任意长的时段内在这个路径上运行。因此，给定效用函数式（5-44），这条路径就是该经济体的“高速路”。）

由此可见，给定效用函数（5-44），既然在任何有限的时段内最优路径和黄金法则路径不一致，那么在一个无限期界的情况下，最优路径和黄金法则路径也不会一致。（实际上，我相信当T→∞时，也就是在无限期界的情况下，与效用函数式（5-44）相关的最优路径根本就不存在。）

皮尔斯的研究给出了这样的一个问题：如果一个经济体在初始时点和终结时点必须运行在黄金法则路径上，对瞬时效用函数施加什么条件才能使最优路径和黄金法则路径在有限长度的中间时段内完全一致？考虑下面的效用函数族

假如要在满足约束条件式（5-42）和式（5-43）的情况下，最大化式（5-45），那么，ρ和u在什么条件下才能使k（t）=（t）？其中0≤t≤T，k₀=（0），k（T）=（T）。

这个最大化问题的欧拉条件（由于u是k（t）和的严格凹函数，这个欧拉条件是最大化问题的充分必要条件）是

其中r_t=f′［e^－λtk（t）］。

对u′（c）求时间的微分，我们可以发现，欧拉条件可以写成

其中是边际效用的弹性。

现在，在黄金法则路径上我们有

以及

根据式（5-47），式（5-48）和式（5-49）可得

由于λ>0，E（c）必然是一个常量，所以可以把E（c）写成E。由此可见，如果在初始时点和终结时点把经济体固定在黄金法则路径上，那么在中间时段上，最优路径和黄金法则路径一致的条件是，ρ和u满足

（当λ=0时，我们需要ρ=0，但对E（c）没有限制，就像我们在前面看到的一样。）

在这里，我们的结论是，如果经济体在初始和终结时点都在黄金法则路径上，那么在中间时段上，最优路径和黄金法则路径一致的充分必要条件是式（5-51）。现在让我们考虑一个标准的拉姆齐问题，也就是，给定任意初始资本存量，在一个无限期界里寻找最优路径。

我们首先讨论边际效用弹性为常数的这类效用函数的情况，即E（c）=E=常量<0。此时，有

对于这个情况，我们有如下命题：

A.如果ρ≥λ（1+E）（或者，等价地，E≤－1+ρ/λ），那么，最优路径存在。因此，假如经济体中人人平等，即ρ=－γ，那么，当E≤－1－γ/λ时，最优路径存在。如果ρ<λ（1+E），则最优路径不存在。

B.如果ρ=λ（1+E），即式（5-51）成立，那么，最优路径将收敛于（或者一致于）黄金时期路径，并且在该路径上有r=λ+γ，即最优路径收敛于（或者一致于）黄金法则路径。

C.如果ρ>λ（1+E），那么，最优路径将收敛于（或者一致于）黄金时期路径，并且在该路径上有r=λ+γ+ρ－λ（1+E），即最优路径收敛于（或者一致于）黄金效用路径。

要证明这个命题，我们先把约束条件式（5-42）和式（5-43）用单位扩张劳动（e^λtL（t））消费和资本来表示。让c（t）和k（t）来表示对应的变量，我们有

在黄金法则路径上，这些变量需要满足

由式（5-42）可得

由式（5-43）可得

对于效用函数，存在两种需要考虑的情况：E=－1和－1≠E<0。先讨论E=－1的情况。给定式（5-52），u（c）必然是对数函数，即

而对应的效用函数为

现在，如果ρ<0，最大化式（5-59）的极限（T→∞）就是一个我们熟知的收敛问题。设积分V是对一个差额的积分。这个差额是实际路径上消费的瞬时效用e^－ρtln（c（t））减去黄金法则路径上消费的瞬时效用e^－ρtln（（t））。由式（5-53）可知c（t）=（t）e^λt，因此

首先，如果ρ=0（此时，式（5-51）在E=－1时满足），在约束条件式（5-56）和式（5-57）下最大化式（5-60）中的V就等同于前面在约束条件式（5-23）和式（5-24）下最大化式（5-27）中的V：只要用c（t）替代c（t），lnc（t）替代u（c（t）），替代。我们可以看到，这个积分是收敛的，所以最优路径存在。通过和前面类似的解决方法，我们可知，在ρ=0，E=－1时，假如在初始时点上，则最优路径收敛于黄金法则路径；假如在初始时点上，则最优路径与黄金法则路径一致。³⁴由于这里E=－1，这个结论符合命题B。

在讨论ρ>0和ρ<0的情况前让我们再进一步研究一下独立于时间的对数函数

具有哪些优点。刚才我们发现这个函数可以使得最优路径收敛于黄金法则路径。那么，这个函数是一个合理的社会效用函数吗？根据詹姆士·托宾（James Tobin）的社会无差异曲线图，该函数隐含了“跨期无偏性”。下面我们将详细讲述一下这个问题。³⁵

托宾认为一个具有代表性的社会无差异曲线应该具有如下性质：给定t=0时的人均消费c（0）和未来某个t时点的人均消费c（t），这两者之间的边际替代率（MRS）应该正好为c（t）比c（0）。因此，假如画一条从原点出发向右上方倾斜45度的直线（在这条直线上显然有c（0）=c（t）），那么在这条45度线上必然有MRS为1，或者说时间偏好的边际变化率为0（MRS减1）。而当c（t）=e^λtc（0），MRS为e^λt，这意味着要使社会效用不变，一单位人均消费在t=0时的减少必须在未来t时点以增加e^λt单位人均消费来补偿。根据托宾的社会无差异曲线中包含的“非互补性”和“平稳性”公理，我们必然可以得到如式（5-45）所示的具有可加性的拉姆齐效用函数。如果在c（0）=c（t）时有MRS等于1，那么，ρ=0；如果MRS=u′［c（0）］/u′［c（t）］=c（t）/c（0），与之对应的函数必然是式（5-61）那样的对数函数。

尽管这种对数效用函数很有吸引力，但我们要留意ρ=0是一个具有争议的假定。因为这个假定暗含了个体未来的瞬时效用是以γ来贴现，而γ代表的是人口的增长率。因此，我们还需要研究ρ>0和ρ<0的情况。

如果ρ>0，那么V必然收敛，因此最优路径必然存在。参照λ=0时的标准结论，我们不难推断最优路径将收敛于r=λ+γ+ρ的黄金时代路径。由于E=－1，我们可以看到这个结论与命题C一致：最优路径将收敛于（或者一致于）r=λ+γ+ρ－λ（1+E）的黄金效用路径。

这些对于ρ>0和ρ=0（E=－1）情况下的结论和命题A一致，即如果ρ≥λ（1+E），那么，最优路径存在。但如果是ρ<λ（1+E），也就是ρ<0的情况，我们就要分析积分V的收敛性问题。尽管我还没有给出证明，但一个强有力的结论是ρ<λ（1+E）时最优路径不存在。

现在考虑另外的一种情况：－1≠E<0。对式（5-52）取积分可得

其中

换言之，如果E>－1，瞬时效用函数的下限受β限制而上限没有约束；如果E<－1，瞬时效用函数的的上限受β约束而下限没有约束。其中，上限为u，并且，当c→∞时瞬时效用函数从下方向其收敛。

现在我们要再用一次从实际瞬时效用e^－ρtu（c（t））中减去黄金法则路径上瞬时效用的老办法。通过这种办法构造一个积分V，并在约束条件式（5-56）和式（5-57）下最大化V：

如果ρ=λ（1+E），那么式（5-51）满足（在这个条件下，固定初始点与终结点问题的最优路径就是黄金法则路径），这样，我们的问题就是前面所述的标准问题。积分必将收敛而最优路径存在。如果，最优路径渐进收敛于黄金法则路径；如果，则两路径完全一致。这其实就是命题B的内容。

如果ρ>λ（1+E），或者，等价地，E<－1+ρ/λ，这个积分也必然收敛，从而最优路径存在。参照不考虑技术进步的类似问题的结论可知：最优路径或者渐进收敛于或者一致于r=λ+γ+ρ－λ（1+E）的黄金时代路径。其中ρ－λ（1+E）是人均扩张劳动消费的实际效用贴现率。而这条路径就是黄金效用路径。与黄金法则路径相比，当ρ>λ（1+E）时，这条路径上利率更高而资本存量更少，当ρ=λ（1+E）时，两条路径完全一致。这就是命题C的内容。

最后，正如我们已经看到的，当ρ≥λ（1+E）时，即E≤－1+ρ/λ时，最优路径存在。这就是命题A的内容。

命题A里有一点很有趣，那就是声称：即使经济体中“人人平等”，只要E在代数上充分小，那么最优路径依然存在。正如我们在前面看到的，即便不对个体的瞬时效用折现，只要人口在以γ增长，那么人均消费的效用实际上是在以－γ在折现，即ρ=－γ。命题A告诉我们，只要E≤－1－γ/λ，即ρ=－γ≥λ（1+E），那么，在γ>0的情况下，最优路径也存在。此外，如果E=－1－γ/λ，那么，ρ=－γ=λ（1+E）且最优路径将渐进收敛于黄金法则路径。如果E<－1－γ/λ，那么，ρ=－γ>λ（1+E）且最优路径收敛于黄金效用路径。总之，当γ>0时，“人人平等”（ρ=－γ）在任何情况下都不影响最优资本积累路径的存在性。库普曼斯在他的定理里面假定λ=0。此时，E≤-1－γ/λ意味着在γ>0时，如果λ→0，则有E→－∞。因此，命题A和库普曼斯的定理一致。

到目前为止，我们都把注意力集中在了形如e^－ρtu（c（t））这样的瞬时效用函数上。这类函数的边际效用弹性为常数。现在，我要给出一些来自冯·魏茨泽克³⁶和稻垣³⁷研究的发现，并从中得出一些具有一般性的结论。

命题A说明当ρ=0，E≤－1是最优路径存在的充分条件。冯·魏茨泽克证明了，当ρ=0并且E（c）随c变化时，给定当前模型中对于生产方面的设定，对于所有c有E（c）≤－1是最优路径存在的充分条件。更一般地，因为如命题A所述，E≤－1+ρ/λ是最优路径存在的充分条件，根据冯·魏茨泽克的定理，我们有理由猜想，当E（c）是变量时，对于所有c有E（c）≤－1+ρ/λ是最优路径存在的充分条件。不过有人怀疑这仅仅是个必要条件。

由上面的分析可以看出，最优资本积累路径存在性和渐进性成立的关键在于当c→∞时，E（c）在极限上的表现。稻垣使用了两种效用函数来研究了当前的这个模型（不过他假定了函数具有柯布·道格拉斯形式，这是不必要的）。一种效用函数满足E（∞）=0；另一种满足E（∞）=－v，其中0<v<1。此外，这两种函数都满足dE（c）/dc>0。他猜想ρ>λ（1+E（∞））是最优路径存在的充分必要条件。不过本章的分析清楚地表明，当E为常量时，ρ=λ（1+E）是最优路径存在的充分条件（我们在前面反复提到这个结论。这个结论在dE（c）/dc>0时成立）。因此，当ρ=λ（1+E（∞））时，最优路径也存在，只要E（c）在下方向E（∞）收敛。但是，如果dE（c）/dc<0，我们有理由猜测，只要E（∞）存在，那么，ρ>λ（1+E（∞））是最优路径存在的充分必要条件。

关于最优路径的渐进性质，稻垣的研究显示，他的效用函数中的任何一种都渐进收敛于r=λ+γ+ρ－λ（1+E（∞））的黄金时代路径。这其实就是前面讲的黄金效用路径，不过有些差异。差异在于：由于在稻垣的模型中E（c）不是常量，一旦经济体处于黄金效用路径上，依然会在后面的时点上偏离这条路径，不过最终还是会渐进收敛到这条路径上。根据稻垣的这个结论连同本章前面的分析，我们不难得出下面的这个最终猜想：在E（∞）以及最优路径存在的情况下，最优路径将渐进收敛于黄金法则路径，当且仅当ρ=λ（1+E（∞））。