模型

考虑一个包含总量生产函数的简单模型。技术进步具有哈罗德中性，即可以表示为完全的劳动扩张。我们用Q表示产出，用K表示资本，用N表示生产中使用的劳动，用t表示时间，所以生产函数可以表示为

另外，假设规模报酬不变。

现在，我们可以讨论一下技术“水平”或者“指数”。具体而言，A（t）是现实技术的指数。在经典的生产模型中，A（t）是最现实的技术水平，也就是最新生产的资本品的平均技术水平。显然，这种生产函数更具有现实性。不过，在本章的模型中，运用式（10-1）表示的非经典生产函数已经足够推出我希望得到的结论。

除了技术的现实水平，我还需要引入技术的理想水平这个概念。如果技术扩散可以在瞬间彻底完成，那么，这就达到了技术的理想水平。技术的理想水平测度的是创新者所具有的知识水平和生产技术。我假设技术的理想水平以外生的比率λ指数增长：

对于技术的扩散，我假定现实技术水平的增长率是人均受教育水平h以及现实与理想技术水平差距的函数。具体而言，

或者等价地

这里，（T（t）－A（t））/A（t）是现实与理想技术水平的差距。

如果h是常量，我们可以得到一些有趣的结论。首先，对于任意一个正的h，现实技术水平的增长率在长期都将收敛为λ。其中的道理是这样的：假如h足够大，使得在初始点有>λ，那么现实与理想技术水平的差距将缩小；但是差距的缩小会降低；这个差距将持续缩小直到在极限上下降至λ。在λ这个比率上，系统达到了均衡，从而使得这个差距不再变化。

尽管这样，不同的h还是有不同的结果。比如，A（t）的均衡或者渐进路径A*（t）是h的增函数。这个结果与这个情况类似：在常规的增长模型中，虽然长期的产出水平取决于储蓄率，但长期的产出增长率独立于储蓄率。

将式（10-2）代入式（10-3）可得一个微分方程。该微分方程的解为

由式（10-4）可以看出上面的结论。另外，在均衡路径上

该等式蕴含了一个有趣的性质：A*（t）对h的弹性是λ的增函数，即

这表明经济体中技术进步越快，人均受教育水平的增加产生的效果越好。换言之，一个社会技术进步越快，这个社会对教育的投资，相对于对实物资本的投资，就越多。我在后面将进一步讨论这个问题。

为了完成模型，我引入了下面的关系式和变量：教育者数量E加上学生数量S和生产工人数量N等于总劳动力数量L，即

劳动力及其组成部分都以不变的比率γ>0指数增长，即

当劳动力以这种平衡状态增长时，我假定人均受教育水平h是b和s的增函数，即

在这个模型中，每个人都接受相同时间的教育。由于s是每个时点上接受学校教育的学生占总劳动力的比重，s的增加就意味着每个人接受教育的时间都变长了。

最后，我假设经济体运行在黄金时代路径上：资本与“扩张”劳动或者“有效”劳动之比k是一个常数。由于在均衡状态下N以比率γ指数增长，式（10-5）中的A（t）以比率λ指数增长，我们有

因此，黄金时代路径上的消费C（t）可以被表示为

其中最后一步来自规模报酬不变的假定。