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移除书签黄金时代与黄金法则
我们首先引入如下充分就业条件来完成模型
其中L（t）是总劳动力而N（t）是被商品生产部门雇佣的劳动力。
然后，假定所有未被消费的产出都被用于投资并且没有折旧。所以我们有
其中C（t）为消费，为资本增长速度（也就是投资）。
根据之前的设定，总劳动力、研究人员与从事商品生产的工人在黄金时代路径上都以不变的比率增长。这个设定与式（9-2）保证了这些变量都以相同的比率增长。所以
由式（9-2），式（9-4）和式（9-5）可知N（t）=N（0）eγt。所以后者并非独立方程。需要注意的是尽管L（0）由参数Lo给出，但R（0）并非如此。这是因为投入研究部门的劳动力是可以被选择的。
式（9-5），式（9-1d）和式（9-1e）意味着技术以比率γ增长，而零时点上的技术水平是研究人员数量的线性函数。因此我们有
现在我们需要注意，只要存在不同于式（9-1d）和式（9-1e）的技术函数，该函数满足式（9-5）和式（9-6）中的设定，那么，下面对技术函数的分析必然是正确的。
式（9-1）~式（9-6）包含七个未知变量：L（t），R（t），N（t），T（t），Q（t），K（t）和C（t）。要解出这七个变量还需要第七个方程来刻画资本存量。对于所有变量都以不变比率增长的黄金时代均衡，给定其他方程，使资本-扩张劳动比不变的充分必要条件是
如果我们假定生产函数规模报酬不变，那么
再由式（9-4），式（9-5），式（9-6）和式（9-7）可得
因此，如果资本-扩张劳动比不变，那么产出将以比率2γ指数增长。
由式（9-4），式（9-5），式（9-6）和式（9-7），资本将以同样的比率指数增长：
而投资也以这个比率增长：
因此，由式（9-3），消费也将以比率2γ指数增长：
此外，对于每一个k，都对应一个不变的实物投资-产出比
以及一个不变的边际资本产出
如果资本以边际产出定价，那么资本收入的份额也为常量：
这里，不变的资本-扩张劳动比与式（9-1）~式（9-6）构成了一个黄金时代路径。反之，一个黄金时代路径也必然蕴含不变的资本-扩张劳动比。
黄金时代路径上的“自然”增长率为2γ是一个令人吃惊的结论。这个结论可以通过经验研究来验证。不过，如果不能用技术函数来很好地刻画技术的积累，那么这个模型还是不完美的。
我们已经知道每一个k和R（0）都存在一个与之对应的黄金时代路径。现在，我们给定R（0），那么在哪一条黄金时代路径上消费水平是最高的呢？换言之，我们需要推导出当技术进步是内生时的黄金法则路径。
假定最大值为内点解。我们对式（9-12）中的C（t）求关于k的微分，并令其为零：
所以，资本积累的黄金法则就是选择k使得资本的边际产出等于黄金时代路径上的产出增长率。另一个表示黄金法则的办法是用资本-产出比分别乘以资本边际产出和增长率。由此可得
这表明，在消费最大化的路径上有投资-产出比等于资本收入份额。或者说，当产出商品中份额为α的部分用于投资时，经济体必然运行在消费最大化的路径上。
我们对这个结论应该很熟悉了。技术进步的内生化并不会改变这个结论。而且只要0<R（0）<L，R（0）的取值也不对该结论有任何影响。
现在，给定资本-扩张劳动比，或者实物投资-产出比，我们来改变研究人员与从事商品生产的工人的比例。每一个R（0）（或者说N（0））都与特定的黄金时代路径以及消费路径相对应。一方面，R（0）越高，技术水平就越高，从而给定N（0）的产出水平越高。另一方面，R（0）越高，N（0）就越小，那么给定技术水平下的产出和消费就越小。因此，显而易见的是无论R（0）=Lo还是R（0）=0都不可能实现消费最大化。换言之，能实现消费最大化的路径必然是内点解。那么，什么是使消费最大化的研究水平呢？换言之，什么是研究活动的黄金法则呢？
由式（9-12），我们可以发现，要最大化C（t），我们只需要在满足式（9-2）的条件下最大化T（0）N（0）。如果这不大容易理解，那么，请注意k以及实物投资-产出比是固定的。这样，最大化消费等价于最大化产出Q（t）=F（K（0），T（0）N（0））e2γt。又因为K（0）=kT（0）N（0），我们实际上是在最大化Q（t）=F（kT（0）N（0），T（0）N（0）），或者更简单地讲是在最大化T（0）N（0）。
给定式（9-2），对T（0）N（0）求R（0）的导数并令其为零，我们有
但根据式（9-6），我们有T（0）=ηR（0），从而有解3
由此可以看出研究活动的黄金法则是把一半的劳动力投入研究活动。就像资本积累的黄金法则要求，无论研究人员占劳动力的比重是多少，比重为α的从事商品生产的工人都要将产出用于投资一样，研究活动的黄金法则要求，无论实物投资-产出比或者资本-扩张劳动比是多少，劳动力总数的一半要投入到研究部门。
高达一半的比重让人吃惊。劳动力具有同质性以及研究部门不需要资本投入的假定会使得研究人员的比重偏高。后面，我将放松这两个假定。
也许有人会认为如果我们给定的不是实物投资-产出比或者资本-扩张劳动比，而是资本存量的“绝对”路径，那么上面的结论就会有所不同。但这个想法是错误的。在黄金时代路径上，我们需要资本存量以比率2γ指数增长。以下面的条件替代式（9-7）
那么，黄金时代的消费路径是R（0）的函数
我们依然可以看到最大化C（t）等价于最大化“扩张劳动”。无论是固定“绝对”资本路径还是固定资本-扩张劳动比（实物投资-产出比）都不能改变这一点。
我们已经用资本的边际产出和产出增长率来刻画资本积累的黄金法则。资本的边际产出在这个模型中就是投资的回报率。事实上，在更加一般的模型中，这个回报率在黄金法则路径上等于增长率，而未必等于资本边际产出。那么，研究活动的黄金法则是否意味着研究的回报率等于增长率呢？答案是肯定的。
要显示这一点，我们把模型转换成离散模式，其中
这里，如果式（9-5a）成立，我们有Tt=T0（1+γ）t。
由此，产出可以被表示为
在黄金时代路径Qt=Q0（1+g）t，It=I0（1+g）t上，我们有
因此，在黄金时代路径上的消费可以被表示为
正如连续时间模型所显示的，在黄金时代路径上变量Qt，Ct和It的增长都形如TtNt=T0（1+γ）tN0（1+γ）t，所以（1+g）=（1+γ）2。
正如前面的分析，在最大值是内点解的情况下，资本积累的黄金法则要求投资的回报率等于产出增长率：给定R0的情况下，通过选择It来最大化Ct。因此有
或者
我们用下面的式子来定义t时的投资回报率r，
随后，我们可以看到，在这个不同于经典模型的新模型的黄金时代路径上，t－i期的投资在t时的边际生产力等于t期的投资在t+i期的边际生产率（该模型隐含了不变的投资边际生产力）。如果
那么，由式（9-22），我们有
由式（9-21）和式（9-23）可知，当时有r=g。
现在给定投资路径，即给定I0，我们通过选择Rt来最大化Ct，由此可得
或者
或者
需要注意的是，由于在黄金时代路径上，劳动的平均生产力和边际生产力都以（1+γ）t的形式增长，i期前劳动的边际生产力是
因此，我们有
假如在t-i期我们减少能生产一单位产出的工人并使他们投入研究部门，由此引起的t期的产出的增长可以由式（9-26）中的第一个方括号内的式子来表示。这里-（Pt/Pt-i）是t-i期对技术的投资在t期的边际生产力。
和前面的结论类似，在黄金时代路径上，t期对技术的投资在t+i期的边际生产力等于t-i期对技术的投资在t期的边际生产力。这种技术投资的边际生产力的稳定性来自生产与技术函数中要素投入的稳定性4。所以，如果定义t期对技术的投资为
其中
是t期对技术的投资在t+i期的边际生产力，那么，根据我们的稳态性假定可得
式（9-26）和式（9-28）意味着当Ct/Rt=0时有1+r=（1+γ）2；又因为（1+γ）2=1+g，所以r=g。由此可得研究活动的黄金法则要求技术投资的回报率等于产出增长率。
我们已经在给定资本存量或者资本-扩张劳动比的情况下通过选择研究者数量来最大化消费；我们又在给定研究者数量的情况下通过选择资本密集度来最大化消费。显然，如果要通过同时选择资本密集度和研究人员数量来最大化消费，那么我们就要使技术投资和实物投资的回报率都等于产出增长率。我们称这个实现了消费最大化的路径为黄金法则路径。这条黄金法则路径是动态有效率的：和一些（而非全部）黄金时代路径一样，这条路径上的两种投资的回报率是相同的。均等的回报率毫无疑问是保证动态效率的一个必要条件。而这个均等的回报率——也就是储蓄的回报率——不小于产出增长率则是第二个必要条件。
根据我们的分析，在这个被高度简化的模型的黄金法则路径上总有L（t）/2的工人从事商品生产，同时aL（t）/2的工人将产出用于投资。和均等的投资回报率不同，这个特性来自两个假定：（1）劳动力具有同质性；（2）资本品对研究部门没有作用。现在，我将放松这两个假定。
