固定人口规模与技术下的拉姆齐问题

拉姆齐假定人口在任何时点都是不变的。虽然在拉姆齐原来的模型中闲暇和储蓄一样都是实现最优化的控制变量，我在这里先假定人均闲暇是一个常量。因此，每个时点t上投入的劳动L（t）完全取决于总人口。因为总人口不变，所以劳动投入也不变：

同样，我假定技术也不变，且技术可以由总量生产函数来描述，即总产出Q（t）是资本K（t）、劳动和其他固定要素投入的函数：

因为劳动是固定的，生产函数也可以写为

这里，我们没有必要假定边际生产力处处递减，甚至也不必假定规模报酬不变。但是，由于没有对引入的效用函数加以某种限定，我们有必要在后面假定存在某个资本饱和量。

为简单起见，我们假定不存在折旧，这样Q（t）就可以被解释为净收入。净收入被分为两部分：消费C（t）和净投资。

其中，消费不能为负。

由式（5-3）和式（5-4）可得

另外，我们还有初始条件

式（5-5）和式（5-6）是求解最优化问题的约束条件。

现在转向模型对偏好的描述。拉姆齐假定社会效用函数具有如下形式：

这里u被称为瞬时社会效用。

这个效用函数具有可加性。基于杰拉德·德布鲁²的工作，佳林·库普曼斯³在他的研究中指出，给定某个偏好可以用效用函数来刻画，如果消费所获得的单期效用在每一时期之间是相互独立的（每期的消费之间具有非互补性），那么，这种偏好可以（且必然）由下面的可加效用函数来刻画：

另外，式（5-7）描述的效用函数具有“平稳性”。这里，“平稳性”是指效用仅仅取决于消费路径而不取决于路径上的具体时间。库普曼斯发现，只要消费带来的效用在任意时期之间具有非互补性，并且从消费路径中获得的总效用不取决于路径从哪一期开始实施，那么，这种消费偏好就可以用下面的效用函数来表示

这里α是“折扣因子”。

除采用了离散累加单期效用而不是积分全部瞬时效用外，库普曼斯的效用函数相对于拉姆齐的效用函数的最大区别就是库普曼斯引入了贴现因子来给未来的效用打折扣。拉姆齐不这样是因为他认为这种做法在“伦理”上有大问题。而库普曼斯认为，如果要确保一个在无限期界上的消费路径具有完全的偏好序，在效用函数中引入贴现因子是必然的。（顺便说一下，非互补性假定允许效用函数中的折扣因子是可变的，这比库普曼斯现在的假定更弱。）尽管不愿意引入折扣因子会给模型带来困难，但是拉姆齐还是天才地解决了这个问题。

拉姆齐的任务是在约束条件式（5-5）和式（5-6）下最大化社会效用函数。其中的困难在于，给定现有的对技术的假定，可行的消费路径可能会产生无穷大的效用。如果存在某个可持续的消费路径，在该路径下的每一个时点上的瞬时效用都是正的，即对某个K⁰有u［G（K⁰）］>0，那么任何保持这个瞬时效用值的消费策略会导致对瞬时效用的积分值为正无穷。积分不收敛会导致最大值不存在。

拉姆齐发明了一个解决这个难题的办法。他假定G（K）或者u（C）存在一个上限

或者

在这个约束条件下，必然存在一个最大瞬时效用（第一种情况），或者u（第二种情况），或者两者的较小值。然后，拉姆齐最小化实际瞬时效用与最大瞬时效用（他称之为“餍足点”）之差的积分。他认为，至少存在一个可行的消费路径使得这个积分收敛，而最优消费路径就是（在所有的收敛积分中）使得这个积分值最小化的路径。

实际上，施加这种约束并不能确保会使那个积分收敛的消费路径存在。如果G（K）或者u（C）趋于其上限的速度太慢，对瞬时效用差额进行的积分未必是收敛的。为了简化问题，大多数现代的研究者，比如保罗·萨缪尔森和罗伯特·索洛⁴，会采用更强的假设，即G（K）或者u（C）可以在一个有限的K或者C上达到其上限

或

这样，要么存在一个饱和资本存量，要么存在一个饱和消费量C，或者两者都存在。和前面的情况一样，最大的瞬时效用或者是=u（），或者是u=u（G），或者是其中的较小者。在下面的分析中，我假定资本总是在饱和量上，即是最大的可持续瞬时效用值。

现在，根据拉姆齐的方法，我们可以最小化实际瞬时效用与最大瞬时效用之差的积分，或者等价地，在约束条件下最大化

这里，常量是积分中的一个减数。

假定，即经济体中的初始资本存量低于饱和资本存量，那么，一定存在很多可行的消费路径使得式（5-9）中的积分趋于负无穷。但是，既然可以通过储蓄使得K（t）在有限的时间内增长到，那一定存在一些消费路径可以使这个积分收敛（到某个有限的负值）。这些消费路径会使u［C（t）］在有限的时间内达到，或者以足够高的速度趋向。此外，不存在可以使得该积分趋于正无穷或者任何正数的消费路径。能够使得该积分最大化的消费路径就是最优路径，而其他任何路径下的积分不是更小，就是趋于负无穷。

拉姆齐和之后的一些学者都认为由此得到的“最优”消费路径就是式（5-7）中最大化社会效用函数的解。但最大化公式（5-9）中的V和最大化公式（5-7）中的U实际上是两个不同的问题。正如我们之前看到的，可以用V来对比的不同消费路径未必能用U来对比，而可以用U来对比的不同消费路径也未必能用V来对比。更正式地讲，由于当V有定义的时候U不一定有定义，而当U有定义的时候V不一定有定义，所以V不是U的单调递增函数。换言之，这两个最大化问题是不等价的。

当然，这不是说最大化V的解不能被认为是“最优”的，但是我们需要对最优性加以新的定义。

现在解决这一积分收敛问题主要来自克里斯蒂安·冯·魏茨泽克⁵、H.渥美⁶（H.Atsumi）和库普曼斯⁷的成果。根据他们的定义，（在有限期界上的）一个消费路径C₁（t）优于或者无差异于另一个消费路径C₂（t），如果存在一个T⁰使得在所有T≥T⁰上有

如果不等式严格成立，那么C₁（t）严格优于C₂（t）。这被称作“赶超原理”（overtaking principle）。

如果一个可行的消费路径C（t）对其他某个路径C（t）≠C（t）存在某个T⁰，使得在所有T≥T⁰上有

那么，消费路径C*（t）是最优的。如果不等式严格成立，那么最优路径是唯一的。

这里不需要对未来的瞬时效用打折扣（尽管也可以这样做）。不过这种定义最优性的方法会使很多消费路径之间难以比较优劣。考虑如下的消费路径C₀（t）和C₁（t），以及趋于正无穷的序列T₁，T₂……，使得

这样C₀（t）就既不优于也不无差异于C₁（t）。但是如果对于这两个消费路径存在另一个不同的趋于正无穷的序列T′₁，T′₂……，使得

那么C₁（t）就既不优于也不无差异于C₀（t）。这样一来，根据对最优性的定义，任何一个路径都既不优于也不无差异于另一个路径。所以，这种最优性的定义无法给任意两个消费路径排序。但如果我们引入了折扣因子，那么就可以通过比较当T→∞时积分的极限来给不同的消费路径排序。

如果按照上面的最优性定义存在一个最优路径，那么这个弱点不是问题。不过最优路径未必总是存在的。情况1：如果对所有的可行消费路径C₁（t）存在一个可行的消费路径C₂（t），使得所有T≥T⁰有

那么，最优路径不存在。这种情况下，最优的消费路径不存在，因此，最优化问题无解。情况2：如果存在一个无法进行偏好排序［就像前面讨论的C₀（t）和C₁（t）那样］的消费路径族，并且这个族内的消费路径都不劣于族外的消费路径，那么，最优路径不存在。此时，不存在优于族内消费路径的其他消费路径，但也不存在一个最优的消费路径。不过，假如像前面一样对技术或者效用函数施加某种约束的话，最优解还是存在的。

引入这种判定最优性的标准后，拉姆齐的最大化V的消费路径可以被看成是最优消费路径。如果存在一个消费路径（该路径对某些初始的K是可行的，但不一定对给定的K₀可行），在该路径上的瞬时效用为，且最大化

存在一个解C（t），那么C（t）就是符合最优性标准的最优解。如果这个最大化的解是唯一的，那么最优解也一定是唯一的⁸。在拉姆齐模型里，路径就是路径，而就是减数。由此，我们阐明了拉姆齐可以把最大化U转化为最大化V的现代理论依据。

拉姆齐在求解受约束于式（5-5）和式（5-6）（给定存在）的条件下最大化式（5-9）的问题时给出了一个极其简单的公式。该公式描述了最优储蓄策略

在讨论这个解的特性前，我们将介绍两种推导这个公式的方法。

据拉姆齐曾讲，凯恩斯采用了一种非常巧妙的证明式（5-10）成立的办法。（见拉姆齐的证明或者詹姆斯·米德（James Meade）的更加详细的论述⁹。）假设当事人要调整明天的储蓄，使得新的消费路径相对于原有路径将提前一天达到餍足点¹⁰。也就是说多获得一天的。但是原本明天可以获得的效用u将永远失去。所以提前原有路径的净收益是－u。这种调整的代价等于额外的储蓄乘以消费的边际效用。所以，如果S是原先计划的每天的储蓄额，那么调整的代价就是Su′（C）。如果原先的消费路径是最优的，那么对其调整既不可能出现收益大于代价的情况（否则可以通过提前路径来提高福利），也不可能出现收益小于代价的情况（否则可以通过推迟路径来提高福利），即最优消费路径一定满足。而这就是式（5-10）。（当然，凯恩斯是在离散时间条件下论证的。其中的收益和代价只是一个近似。不过我们可以在连续时间条件下进行类似的论证。）

还有很多对拉姆齐的式（5-10）更加正式的推导。这里我们采用的是理查德·贝尔曼（Richard Bellman）的动态规划方法¹¹。

首先，我们定义初始资本为K₀时V的最大值为w（K₀），即

其中，

根据贝尔曼的“最优化原理”，在动态决策中，如果整个策略序列是最优的，那么无论初始的状态和策略是什么，后续的策略序列一定也是最优的。因此，论证的方法就是把时间分割成很短的时段Δ。假定在初始时段Δ，初始策略已经实施，那么，从时点t=Δ上开始的下一个时段里，新的最优策略将实施。假如在初始时段上的平均消费是C，那么获得的效用近似于，而t=Δ时的资本存量近似为K（Δ）=K_o+Δ［G（K_o）-C］。因此，我们可以得到下面这个近似的关系

利用ω（K_o+Δ［G（K_o）-C］）的近似值，可得

减去等式两边的常数项ω（K_o），可得

两边同除以Δ并令Δ→0，可得

这里C是初始的瞬时消费。

由式（5-15）可得，如果C是最优的，也就是说C最大化了括号内的函数，那么最优的C必然满足

进一步地，如果最大值是内点，那么式（5-15）中括号内的函数关于C的导数必然为零，即

由式（5-16）和式（5-17），我们有

这就是式（5-10）里的拉姆齐-凯恩斯公式。

拉姆齐解的一些特性可以用图5-1中的几何方法来表现。要得到最优的瞬时消费，我们需要知道既定收入G（K_o）、效用函数u（C）的形状和。而生产函数因为不影响初始的收入和，也就不会影响最优瞬时消费。换言之，C*独立于资本的边际产出和收入分配状况。此外，由于未来收入的现值和其他具有财富性质的变量不影响消费决策，瞬时消费的最优策略在这种特殊情况下是“短视”的。正是鉴于这种，给定u（C）和，消费仅仅取决于收入的结论，凯恩斯在他的《就业、利息和货币通论》里采用了和这种结论一致的简洁的消费函数。（在拉姆齐模型里，最优的边际消费倾向是正的，但并不像凯恩斯所假设的那样必然小于1。）

图5-1显示，如果，那么C<G（K₀），也就是。这意味着只要经济体中资本存量不达到饱和值，储蓄会一直是正的。另外，仅当G（K）趋于时，C趋于G（K）。因此，K将渐进地趋于，而C将渐进地趋于G（）。在K=时有C=G（）。［K与越来越近并不是一个新的结论，因为要存在最优的消费路径的话必然要求u（C）与越来越近，从而使得V收敛。但K与的距离趋于零是一个新的结论。］此外，要留意的是，对u（C）的任意线性转换都不影响到的值。这是因为对u（C）的任意线性转换都不影响对消费偏好的排序。

最后，值得一提的是，萨缪尔森和索洛¹²已经把拉姆齐的分析扩展到了对包含多种异质资本品情况的研究。而我本人也在一个无限期界模型中讨论了资本风险对最优消费的影响¹³。但最重要的扩展还是在拉姆齐模型中引入了人口增长和技术进步。

图　5-1