一般化的黄金法则路径的运用

现在，我们允许生产函数中包含多种基本要素投入，甚至允许规模报酬是可变的。这样，生产函数可以表示为如下形式：

考虑一条路径在所有时点t≥t₀≥0上有

其中满足

式（4-31）描述了前面文章中的一般化的黄金法则路径族。每一条满足式（4-31）的路径——对于每一个初始点K（0）都有这样的一条路径——都具有类似于黄金法则路径的性质：在资本存量上相对于其他对数平行路径居于高位。

需要注意的是任意一条满足式（4-30）的路径都必然偏离一般化的黄金法则路径，就像任意一条满足式（4-9）的路径都必然偏离黄金法则路径一样；而在任意满足式（4-9）的路径上，K（t）与黄金法则资本存量之比不小于1。

既然任意满足式（4-9）的路径都是无效率的，我们很自然会猜想到，任意满足式（4-30）的路径也是无效率的。当然，证明这个猜想的诀窍在于找到合适的比较路径，但这并不是件容易的事情。幸好大卫·卡斯为这个猜想提供了如下证明。

用K（t）和定义下面的比较路径K*（t）：

在时点t₀前，这条比较路径上的消费和满足式（4-9）的路径完全相同。在时点t₀上，比较路径上的消费有一个增加量ε。在之后所有t≥t₀的时点上，我们有消费差额

其中，第一个严格不等式首先来自（由式（4-31））。其次，来自式（4-29）中的严格凹函数假定，即P_KK＜0，所以有。第二个不等式来自式（4-29）和式（4-30）。由两式可知P是K的凹函数且。

在对利率和技术进步的要素节约特性施加某种假设后（比如P_Kt＞0），在零利率路径和很多正利率路径上都有K（t）满足式（4-30），从而由前面的定理可知这些路径是动态无效率的。因此，我们又一次看到在投资回报率连续为正的情况下出现动态无效率的可能性。

就像本章中的第一部分一样，我并没有给出动态无效率（有效率）路径族的全部特性。因此，在当前模型中，式（4-30）并不一定是一条路径无效率的必要条件。举例而言，只要K（t）在平均的意义上高于，那些在一般化的黄金法则路径上永久上下波动的路径可能也是无效率的。不过对实现动态效率的必要和充分条件的讨论可能要涉及对一般化的黄金法则这一概念的界定问题。