研究部门的资本

前面我假定研究活动中资本没有作用。现在我更加合理地假设资本对研究活动有帮助，即“有效研究”是R（t），L（t）和M（t）的一次齐次函数。这里M（t）代表研究部门使用的资本存量。所以我们有

其中

因此，H（E，T）是E，T的一次齐次函数，并且E（0，T）=0。

由式（9-34），我们有

因此，如果技术水平以指数增长，“有效研究”也必然以同样的比率j指数增长。这里

现在，如果R（t），L（t）和M（t）都以比率j增长，那么有效研究也将以同样比率指数增长。所以，在黄金时代路径上，商品生产部门的“扩张劳动”以比率j+γ=2j增长（R（t），N（t）必然以相同比率增长）。不过此时商品生产部门的资本存量以比率2j增长，而M（t）仅以比率j增长。所以，两个部门的资本存量增长比率不同。这意味着总资本存量以及投资和消费都无法以指数形式增长。因此，如果R（t），L（t）和M（t）都以相同比率增长，那么黄金时代路径就不存在。

但是，如果R（t），L（t）和M（t）以不同比率增长（M（t）以比率j+γ增长），那么E（R，L，M）是否能以指数形式增长呢？答案是否定的，除非“有效研究”函数具有柯布-道格拉斯形式。现在我们就假定“有效研究”函数具有柯布-道格拉斯形式。如果R（t）和L（t）都以比率γ增长，M（t）以比率m增长，那么“有效研究”和技术水平的增长率j有

这里α是“有效研究”对资本的弹性，β′和β″分别是有效研究对R（t）和L（t）的弹性。根据齐次性假定，我们有β′+β″=1－α。

现在，在黄金时代路径上，“扩张劳动”以比率j+γ增长，而商品生产部门中产出和资本以比率g=j+γ增长。所以，我们有

但是在黄金时代路径上，资本在两个部门必须以同等的比率增长，否则总资本存量不可能以指数形式增长。所以，我们将

代入式（9-38）可得

这就是两个部门的资本存量以及整个经济体中的产出的黄金时代增长率。如果资本不具有生产性，即α=0，那么，在这种特殊情况下我们将再次得到g=2γ。但如果α>0，则有g>2γ。此时，技术进步下的资本的增长高于劳动的增长。因为资本可以在研究部门发挥作用，这就进一步提高了技术进步率和经济增长率。由于g>γ，所以，当m=g时，j=αm+（1－α）γ在所有α>0上都高于γ。

现在，我们转向下面这个问题：在黄金法则路径上，资本在研究部门的生产率如何影响劳动力和资本存量投入在研究部门中的比例。首先，我们考虑，假设总资本存量在研究和商品生产部门的分配已经最大化了消费，那么，在黄金法则路径上，劳动力该如何在两个部门之间分配呢？和前面的分析一样，劳动力分配的黄金法则必然会最大化商品生产部门的“扩张劳动”，也就是通过控制R（0）来最大化T（0）N（0）。因此，我们有

但是

所以

我们再一次发现，此时研究人员与非研究人员的比例等于有效研究的劳动弹性。在当前的柯布-道格拉斯情况下，这个弹性为常数β′。在我们的齐次性假定下，这个弹性小于1。

我们现在可以看到，在有效研究函数中包含资本存量是黄金法则路径上研究人员数量少于劳动力总数一半的另一个原因。所以，即使劳动力是同质的（β″=0），只要资本具有生产性（α>0）并且有效研究的规模报酬不变（α+β′=1），那么有效研究的劳动弹性β′必然小于1。

那么，资本存量在两个部门之间分配的黄金法则是什么呢？给定以指数增长的总资本存量和劳动力在两个部门之间的黄金法则分配，商品生产部门的资本K（0）在黄金法则路径上要最大化

求C（t）对K（0）的导数并令其为零，注意dM/dK=－1，我们有

由此可得

所以，在黄金法则路径上资本在研究部门和商品部门的分配比例不仅仅取决于有效研究的资本弹性，还取决于产出的资本弹性α。我们可以看到当α=0时有M（0）=0。此外，研究部门的资本密集度要高于商品生产部门的资本密集度（M/K>R/N），当且仅当（b/α）α>β′或者α/β′>a/b。

此外，我们还可以得到以下定理：在当前模型和资本在研究部门中无用的模型中，投资于研究部门和商品生产部门的回报率等于黄金法则路径上的产出增长率。对该定理的证明基本上和前面的相关证明类似。