黄金法则

我和德兰达基斯合作的论文并没有给出均衡的产出、资本存量和消费，给出的仅仅是均衡的增长率。要说明黄金法则路径的存在性并刻画其特征，我们需要了解资本密集度将如何决定以指数增长的消费水平路径。

首先，我们要认识到，均衡的A（t）和B（t）都取决于K（t）。将生产函数式（8-1）改写为

其中

由此可知在所有的黄金时代路径上都有

因此，在所有的黄金时代路径上k的值都为k*。由λ表示φ（0），那么在任意的黄金时代均衡上都有劳动扩张比率

因此，黄金时代路径上的比率B₀/A₀与初始K₀有关。而给定不变的k*，B₀/A₀仅与K₀有关。

现在，我们既然发现K₀是初始时点上唯一的状态变量，而B₀和A₀都仅仅取决于K₀，那么可得

由前面的分析可知，给定稳定性假定σ<1，我们有B′（K₀）<0，A′（K₀）>0。假定经济体在初始时点就处于黄金时代路径上，那么储蓄率必然递增。而这会提高资本的增长率并在σ<1时降低资本收入份额。低资本收入份额的下降会使得上升，下降（从而使降到负值）。最终，资本的增长率将恢复到“自然”的黄金时代增长率，而资本存量将变得更高。此外，会恢复到λ，会恢复到零。因此，A（t）会更高，而B（t）会更低。总之，黄金时代路径上储蓄的提高和资本存量的上升会导致：A（t）变大，B（t）变小。其结果是，较大的K₀必然产生较大的A₀和较小的B₀。

现在假定存在最大化的消费，那么，哪一条黄金时代路径上，或者说，哪一个K₀上，有最高的消费呢？在黄金时代路径上，时点t上的消费C（t）由下式给出：

这里

对消费求K₀的导数并令其为零可得

由这个方程可以很明显地看出存在一个K₀使得等式左边对任意t都为零。这意味着在一个包含引致发明的模型中存在黄金法则路径。关于保证存在性的条件我们会在后面给出。

假如黄金法则路径存在，那么这条路径上的特征是什么呢？要使式（8-17）中大括号内的部分为零，我们必须有

这就是这条黄金法则路径的标准特征，即资本边际产出等于黄金时代增长率。我现在要证明，如果式（8-18）成立，那么式（8-17）中大括号内的部分必然为零。

我们可以发现

式（8-19）右边的部分为零。

在这个引致发明模型中，内生的要素扩张比率持续最大化了技术进步率，从而在给定K（t）和L（t）的路径上最大化了Q（t）的增长率。因此，在均衡的黄金时代路径上必然有产出水平的最大化。换言之，我们不可能在发明可能性边界上找到另外一点，使得经济增长率高于黄金时代增长率γ+φ（0）。

如果路径A（t），B（t）最大化了均衡产出水平，那么在均衡的黄金时代路径上的A₀和B₀也必然最大化了F（B₀K₀，A₀L_o）。此时，不存在可以使F更高的偏差dA₀和dB₀，即有

由此可得

这意味着式（8-19）里大括号内的部分为零。（有人可能会问为什么不对K₀，A₀和B₀都求导数来最大化消费。实际上我们不用担心K₀的变化会影响最优的A₀和B₀，这是因为A₀和B₀的变化不会对消费的最大化产生影响。）

由于式（8-17）中大括号内的项为零，式（8-18）就描述了黄金法则路径的特征。所以，这个引致发明模型和具有外生劳动扩张比率的标准模型没有什么区别，它们在黄金法则路径上都有资本边际产出等于黄金时代增长率。

在等式（8-18）中的边际产出和增长率上都乘以资本-产出比，我们可以得到如下特征，

以及

其中s是投资-产出比或者说储蓄率，而α是一个常数。根据式（8-3），发明可能性边界和纵轴（劳动扩张比率）相交时斜率为负，这就确保了0<α<1。而这意味着必然存在一个0<s<1，使得式（8-23）成立。由此可见，这个引致发明模型和标准模型中的柯布-道格拉斯特例一样，都存在黄金法则路径。