21-5　根据正态分布进行贝叶斯推理的公式

接下来，对于上上节中进行的、将正态分布作为共轭先验分布而进行的推理计算进行说明。

根据正态分布进行贝叶斯推理的公式

将需要推理的θ的先验分布设定为平均值μ0 、标准偏差б0 的正态分布；将观察的信息x 设为遵循平均θ、标准偏差б的正态分布。至于μ0 、б0 、б，则设为具体已知的数值。换言之，设定关于信息x 的附带条件概率密度p（x |θ）为平均值θ、标准偏差б的正态分布。

（ⅰ）只观察1次信息时的公式：

把观测到的值设为x ，则：

（观测到x 之后，θ的后验分布 ）p（θ|x ）为关于θ的正态分布。

正态分布p（θ|x ）的平均值（期待值）为，

（ⅱ）观察n次信息时的公式：

若把观测到的n个数值的平均值（为（观察值的合计）÷n）记为x ，

则（观测到 x 之后，θ的后验分布）p（θ|）为关于θ的正态分布。

正态分布 的平均值（期待值）为，

以下，用略显烦琐的文字来进行解说：

首先，标准偏差的2次方是被称为“方差”的量。 方差，也是标准统计学中重要的统计量之一。

在正态分布中，后验分布的平均值按照以下方法进行计算：

观测值只有1个的情况下，按照以下公式计算：

（先验分布的平均值）÷（先验分布的方差）＋（观测值）÷（信息x 的方差）

之后，用下面的式子相除：

（先验分布的方差的倒数）＋（信息x 的方差的倒数）

此处，若重现21-3中的计算，则为：

（先验分布的平均值）÷（先验分布的方差）＝

（观测值）÷（信息x 的方差）＝

（先验分布的方差）的倒数＝

（信息x 的方差）的倒数＝

在该计算中，由于用方差大的数进行除法运算之后，结果反而变小，所以我们得知：方差小的数值对于修正值的影响更大。

在有多个（n个）观测值的情况下，只要将当前计算的“观测值的方差”之处进行n倍计算即可。在正态分布中，（ⅱ）的公式在观测n次之后的平均 x 的平均标准偏差为：

（原来的标准偏差）÷ （见20-5）

那么，n次观察后的x 平均方差，则为上述结果的2次方，即：

（原来的方差）÷n