20-3　正态分布由“μ”和“б”决定

一般的正态分布，可以从标准正态分布中轻而易举地获得，只要把图表按照以下步骤进行变形即可。

步骤1： 以y轴为中心，向左右两侧延伸б倍（б希腊字母，读作“西格马”）。为了满足标准化条件（面积之和为1），各部分的高度需为б分之1。

步骤2： 横向平行移动，直到对应函数顶点的x 坐标为μ（希腊字母，读作“缪”）为止。

现在，针对μ和б的作用进行说明。

μ是概率分布的平均值。 换言之，即为“挑担人偶的平衡支点”。由于其左右对称的，因此位于函数图像的顶点位置。而б是被称为标准偏差 的指标，表示分布中的“分散”“扩大” 的程度。

接下来，用形象的方式来说明“分散”“扩大”的概念。由于平均值μ位于概率分布图顶点的位置，因此，最容易观察到数值。因而，如果被问到“你能预言可以观察到什么吗”的时候，回答“我可以预言在‘μ附近’”，是比较稳妥的。但是，若说这个预言的准确度如何，则要依存于“分散”“扩大”的程度。如果是分布的状态为山顶高、山脚低，那么由于μ附近的数值容易被观察到，则预言的准确度相对较高。但如果分布的状态为山顶低、山脚高，那么反而会观察到，远离μ的数值出现的频率高。因此，偏离预言的可能性就会增高，导致准确度降低。

也就是说，我们可以想象为，标准偏差б表示的是“从观察值的平均值中，误差/偏差的程度”的指标。 本书后面不对标准偏差进行更深入的探讨，如果想了解更多内容，可以参考相关书目《完全自学　统计学入门》（详见参考文献⑨）。

那么，只要确定μ和б，就能决定一个一般的正态分布。 尤其是标准正态分布，它对应μ＝0、б＝1。

用б＝2、μ＝3来举例说明上述内容，则如图表20-3 所示。

图表20-3　一般的正态分布

上方部分为标准正态分布的分布图，顶点在x ＝0的位置，扩大宽度为1。下方左侧的图像为，将该标准正态分布向左右两侧扩大2倍之后得到的图像。此时，函数图像的倾斜度稍微平缓了一些。为了保证总面积为1，其对应的x 位置的高度同样需要变为1/2。通过这个操作，可以得出标准偏差б＝2的正态分布（平均值μ保持为0不变）。下方右侧的图为，将该图像向右平行移动＋3后得到的图像。那么顶点自然变为了x ＝3所对应的位置。通过这个操作，可以得出平均值μ＝3的正态分布。按照这样的方式，可以得到μ＝3、б＝2的正态分布的概率分布图。

综上，可以得出以下结论：

一般正态分布的性质

・只要赋予平均值μ和标准偏差б，就能确定一个正态分布。

・μ的含义为分布的平均值。 表示为图表的顶点位置，因此也是挑担人偶的平衡支点。

・б表示分布的标准偏差。 即表示图表左右扩大多少，其含义是分布的“扩大”“分布”。

・标准正态分布是指μ＝0、μ＝1的情况。平均值μ、标准偏差б的正态分布的分布图，是在不改变标准正态分布的分布图面积的情况下，左右延长б倍，y方向延长1/б倍，并且只在x 方向上平行移动μ。