19-2　设定先验分布为均匀分布，并进行推理

把某对夫妇生女孩的概率设为x 。x 表示这对夫妇的“类别”。由于类别是未知的，所以将其作为推理的对象。

虽然我们知道，类别x 一定是一个大于0且小于1的数值，但并不知道具体的数值。因此，需要设定每一类别分别对应何种程度的先验概率。当x 分为3种情况时，设定各x 的数值为事前“概率”是完全没问题的。但在本次推理中，x 可以有连续无限个数值，因此设定的数值为“概率密度” （第16讲中对于“概率密度”这一概念已经进行了解说）。把各个类别的可能性的设定为概率密度时，称为“先验分布” 。

在这里，暂且把表示x 的先验分布的概率分布，假设为均匀分布。

这意味着，不管该夫妇所属的类别x 为何种可能性，都假定其相等（大致相同）。也许有的读者会不理解这样进行假设的原因，认为“x 在接近0或接近1的情况下，与接近0.5的情况下，结果是相等的”这样的设定不合逻辑。这是一个合理的疑问。在下一节中，将会以能够解答这个疑问的先验分布为例，来进行解说。而作为学习的出发点，首先我们来一起思考均匀分布的先验分布。

关于类别x （x 为某对夫妇生女孩的概率）的先验分布，设定如下：

y＝1　（0≤x ≤1）

它的含义是：不论哪种类别x 的可能性，其概率密度都为1。可以这样来理解：首先像第4讲的图表4-1中那样，把p＝0.4，0.5，0.6这3种类别设为对等（概率均为 ）的情况，然后对其进行无限的细化，并设为同等的（概率密度均为1）情况。这意味着，不管从哪个类别中分配到，其概率密度都是相等的，所以把它们都设定为全部相等。另外需要加以说明的是，概率密度1并不等于概率。概率密度和概率是不同的概念：概率密度是在计算x 的宽度时，运用乘法计算面积时最初的概率的量。

在图表19-1 中，先验分布即为x 轴上方的部分。

图表19-1　类别为均匀分布的情况

接下来，x 轴的下方的长方形，可以对应第4讲的图表4-3的长方形分割图，也就是划分出互不相同的几种可能性。在图表4-3中，划分了6个长方形，但在图表19-1中，划分为无数条线段（AB或BC即为其中的1条）。

从有限变成无限的情形，如图表19-2 所示。

图表19-2　从有限到无限

那么，接下来可以这样分析图表19-1：例如，图中的x ＝0.7（点A）表示该夫妇的类别为0.7，换言之，表示“这对夫妇生女孩的概率”为0.7这样一种可能性。因此，这对夫妇生的第一胎为女孩（这样一种可能性）的概率密度为0.7，用线段AB来表示。那么，生男孩的概率密度自然为0.3，用线段BC的长度来表示。实际上，这里采用了“＆的事件的概率法则”（见15-3）。换言之，表示为：

（AB的长度）＝（类别是x ＝0.7的概率密度）×（类别在x ＝0.7的基础上，生女孩的概率）

　　　＝（x ＝0.7时的y）×p（女孩|x ＝0.7）

　　　＝1×0.7

　　　＝0.7

在19-3之后，这个问题将成为基本的知识点。

假设我们获得了“这对夫妇生的第一胎为女孩”这样一条信息吧。那么，就可以把图表19-1中涂有颜色中的浅色部分的线段（生男孩的可能性）排除在外，只留下涂有颜色中的深色部分的线段（生女孩的可能性），如图表19-3 所示。

图表19-3　排除生男孩的可能性

排除掉生男孩后的可能性之后，便不符合标准化条件（所有事件的概率之和为1）了。由于表示生女孩这种可能性（涂有颜色的深色部分的三角形）的面积为0.5，那么，为了把它的面积变为1，需要在保持各线段的比例关系的同时，变更概率密度。只要把每条线段延长到之前的2倍，就能满足标准化条件了 （三角形的高度变为之前的2倍）。图表19-3的右侧部分，表示这一步骤完成之后的状态——把左侧的x 轴下方的部分翻转过来，再纵向延伸到之前长度的2倍。需要注意的是，右侧部分的图像即为贝塔分布的α＝2、β＝1的情况 （见17-4）。这个是在获得了“该夫妇生的第一胎是女孩”这条信息时，关于这对夫妇的类别x 的后验分布。同时还需注意的是，它表示的不是后验概率，而是后验分布。这是因为，分布图表示的是概率密度。后验分布如图表19-4 所示。

图表19-4　先验分布和后验分布

看图可知，虽然关于该夫妇生第一胎之前的类别x 的先验分布，为均匀分布（无论哪种类别x ，结果都是相同的）。但在获得了“第一胎为女孩”的信息之后，关于类别x 的后验分布，就变更为z＝2x 这样的贝塔分布了。这意味着，类别x 的后验概率密度，是随着x 的增大而增大的。

如果各位读者不想对类别x 的分布进行推理，而是想推测“这对夫妇生的第二胎为女孩的概率”的话，那么，计算x 的概率分布的期待值 就可以了。先验分布和后验分布都是贝塔分布，在上一讲中已经对于它们的期待值的计算方法进行了解说。左侧的均匀分布（α＝1、β＝1的贝塔分布）的期待值为0.5，右侧的α＝2、β＝1的贝塔分布的期待值为 。因此，虽然在事前推测“生女孩的概率”为0.5，但是在获得“第一个孩子是女孩”的信息之后，便更改为 。