17-2　何为“贝塔分布”

首先介绍“贝塔分布” 这一概率分布的概念。从计算公式入手来看：横轴x 代表基本事件的数值，纵轴y代表概率的密度。上一讲中已经讲过，概率密度是指“乘以区间的长度后可以转化为概率的量” 。

贝塔分布可以用以下公式来表达：

y＝（常数）×x α-1 （1-x ）β-1 　（0≤x ≤1）　…（1）

出现在指数部分α和β，应为大于1的自然数，它用来决定贝塔分布的种类。 换言之，如果赋予α和β具体的数值，就能够决定一次贝塔分布。当α、β为较小的数值时，贝塔分布的图表为相对简单的模型；反之，当α、β为较大的数值时，贝塔分布的图表则为比较复杂的模型。另外，写着“常数”的部分，是为了使标准化条件（所有事件的概率之和为1）成立，而进行了调整的数值，因此在贝叶斯推理中并不是那么的重要。

接下来，我们通过几个例来理解。

例1：α＝1，β＝1时，

x 0 ＝1，也就是“任何非零数的零次幂为1”。（1）式为

y＝（常数）×x 0 （1-x ）0 ＝（常数）×1×1＝（常数）（0≤x ≤1）

y＝（常数）的图像是一条与x 轴平行的线段，这与上一讲中的［0，1］-赌盘模型相一致。并且，从标准化条件来考虑的话，（常数）必须为1。于是也可以用以下的（2）式来表达（图表17-1 ）。

y＝1　（0≤x ≤1）　…（2）

例2：α＝2，β＝1时，

根据上面的（1）式，

y＝（常数）×x 1 （1-x ）0 　（0≤x ≤1）

可以得出：

y＝（常数）x 　（0≤x ≤1）　…（3）

为一次函数，如图表17-2 所示，函数的图像为一条向右上方延伸的线段。这里（常数）＝2，原因将会在17-4中予以说明。

例3：α＝1，β＝2时，

根据上面的（1）式，

y＝（常数）×x 0 （1-x ）1 　（0≤x ≤1）

可以得出：

y＝（常数）（1-x ）　（0≤x ≤1）　…（4）

同样为一次函数，如图表17-4 所示，函数的图像为一条向右下方延伸的线段。这里（常数）＝2，原因将会在17-5节中予以说明。

例4：α＝2，β＝2时，

根据上面的（1）式，

y＝（常数）×x 1 （1-x ）1 　（0≤x ≤1）

可以得出：

y＝（常数）×x （1-x ）　（0≤x ≤1）　…（5）

为二次函数，如图表17-5 所示，函数的图像为抛物线的一部分。这里（常数）＝6，原因将会在17-6节中予以说明。

接下来，将对这些例子逐一进行详细说明。