15-4　通过条件概率的公式理解后验概率

接下来，终于到了解说绍贝叶斯推理条件概率的使用方法第二阶段的环节。

用壶的例子来解释的话，贝叶斯推理就是通过“取出的球为黑球”这一信息，来推测“该壶为B壶”的概率。由于“取出的球为黑球”是观察的“结果”，而“该壶为B壶”是“原因”，从“结果”来推测“原因”，听起来是一个奇妙的过程。而这个过程之所能够实现，关键就在于条件概率的定义。

我们要计算的是：在获得到“取出的球为黑球”这一信息之后，“该壶为B壶”的概率。由于已经明确定义了条件概率，因此可以完全确定下来，即条件概率为：

p（B|黑）

而该条件概率的计算方法，在15-2中已经给出，即：

p（B|黑）＝p（B＆黑球）÷p（黑球）…（3）

的计算，可以求出。因此，只要知道概率p（B＆黑球）和概率p（黑球）的数值，然后用除法运算，就可以求出了。

前面的p（B＆黑球），运用刚刚在（1）（2）式子中求出p（A＆黑球）同样的计算方法，就可以求出。即为，

p（B＆黑球）＝p（B）×p（黑|B）…（4）

这里，需要注意的是：条件概率p（　）中的内容被随意地左右替换。在（3）中是p（B|黑），而在（4）中则是p（黑|B）。前者为需要计算的数值，而后者可以通从模型的设定得出结果为0.8。而事件“该壶为B壶”与事件“取出的球为黑球”可以进行更换，正是贝叶斯推理的秘密所在。那么，从（4）中可以计算出

p（B＆黑球）＝0.5×0.8＝0.4　…（5）

而关于概率p（黑球）的计算，由于“取出的球为黑球”这一事件是能够通过

“黑球”＝{A＆黑球，B＆黑球}

以及使用了符号＆的各个基本事件表示出来，因此，可以运用以下方法计算求出：

p（黑球）＝p（A＆黑球）＋p（B＆黑球）

右边的第一项是通过（1）求得，而第二项是通过（4）求得的。将结果代入上述式子中，可以得出：

p（黑球）＝p（A）×p（黑|A）＋p（B壶）×p（黑|B）…（6）

因此，把（4）和（6）代入（3）中，可以得出下面的计算公式：

这被称为“贝叶斯公式” 。

进行具体计算，则为：

式子（7）可以按照以下思路来理解：左边表示从“黑球”的结果追溯到“B壶”这一原因的概率，从直观上不是很容易理解。而右边的p（A）和p（B）均为每一类别的先验概率，p（黑｜A）和p（黑｜B）是由原因推导出的结果的概率，这一点已经在设定中予以说明。换言之，式子（7）是通过已知的概率（右边），推导出直观上看不出的概率（左边）的计算方式。

乍一看式子（7），可能会觉得计算过程很复杂，令人迷惑。不过，只要在面积图中填入前面讲过的概率符号，就能明白“现在做的，只是把之前面积图的方法直接转换为计算公式罢了” 。

图表15-4　贝叶斯逆概率的公式

下面请观察图表15-4 。迄今为止，我们采用的计算方式都是在获得“取出的球为黑球”这一信息之后，再得出以下比例关系：

（A的后验概率）：（B的后验概率）

＝（A＆黑球的面积）：（B＆黑球的面积）

用条件概率来描述，则可以得到如下比例公式：

p（A）p（黑｜A）：p（B）p（黑｜B）…（8）

式子（8）中，左右两边的计算，与通过乘法计算长方形的长宽而得出的概率是一样的。然后，在满足标准化条件的情况下进行变形（左右数值之和相除），得到：

由此又可以得到以下公式：

最后的式子（9），与（7）是完全相同的。

下面，我们通过用来说明条件概率的面积比例的思路，再次进行探讨。

现在，我们已经获得了“取出的球为黑球”这一信息，那么，正如15-2中的解说，B的条件概率即为：在表示“A＆黑球”的长方形与表示“B＆黑球”的长方形的总和（表示事件“黑球”的情况）中，表示“B＆黑球”的长方形所占面积的比例这一数值。而在式子（8）中，左侧为表示“A＆黑球”的长方形的面积，右侧为表示“B＆黑球”的长方形的面积。因此，用右侧来除以左右之和，其结果，与“在‘取出的球为黑球’的情况下，计算表示‘B＆黑球’的长方形面积所占比例”的结果是相同的。这也意味着，最后的计算与条件概率p（B|黑）的面积所代表的意义相一致。

最后需要说明的一点重要内容：采用贝叶斯推理方法计算后验概率时，无须考虑式子（7）中的分母。 要点是，因为有了比例公式（8），那么（7）和（9）的分母，只是用来恢复标准化条件罢了，可以忽略。毕竟，关键点在于比例关系。因此我们只需记住比例公式（8）即可。