13-2　壶的问题：取出2个球

在这里，我们再次使用第7讲中的、装有带颜色的球的壶的例子，并进行以下问题设定。

问题设定

面前有一只壶，已知这个壶不是A壶就是B壶，但是单从外表看不出究竟是哪个。而目前已知的是：A壶中有9个白球和1个黑球，B壶中有2个白球和8个黑球。

在第7讲中，我们从壶里取出一个球，通过观察球的颜色，来推测是A壶还是B壶的概率。得知取出的是黑球后，可以推测出该壶为A壶的后验概率是1/9，该壶为B壶的后验概率是8/9，具体过程参详见7-2的内容。

那么，我们设想一下：把第一次取出的球放回壶里，然后再一次取出一个球。在这种情况下进行推理，需要用到第一次取出的球的颜色和第二次取出的球的颜色。而第二次取出的球，有可能为黑球，也有可能为白球。上述方法在第12讲中已经涉及过，即通过多条信息进行推理的方法。

首先，由于我们并不知道该壶究竟是A壶还是B壶，因而想要对此进行推理，于是分为A和B两个类别。然后根据“理由不充分原理” ，将各个类别的先验概率都设定为0.5。

接下来，请思考关于条件概率的问题。

如果第一次取出的球为黑球，第二次取出的球为白球，则把这种情况记录为“黑球＆白球”。然后，通过概率的乘法公式 ，可以计算得出：

（黑球＆白球的概率）＝（黑球的概率）×（白球的概率）

若该壶为A壶，则：

（黑球＆白球的概率）＝（黑球的概率）×（白球的概率）＝0.1×0.9＝0.09

若该壶为B壶，则：

（黑球＆白球的概率）＝（黑球的概率）×（白球的概率）＝0.8×0.2＝0.16

综上，通过不同颜色的球的组合，A和B这两个类别又各自分为4类，此时共出现8种互不相同的可能性。这8种可能性各自的概率，如图表13-2 所示。

图表13-2　通过两条信息，组合出八种互不相同的可能性