21-3　根据正态分布进行贝叶斯推理的步骤

步骤1：用正态分布设定先验分布

我们要推算的是实际的水温θ。虽然现在已知，观测结果（信息）为40℃，但贝叶斯推理的风格是：在此之前的类别的先验分布中，对于“θ是以怎样的形式分布的”这一问题进行设定。这个问题设定类别的先验分布时，出现了与以往不同的情况：实际的水温θ有各种类别（温度），而这些不同的类别（温度）之间存在“可能”或“不可能”的差异。在这种情况下，运用正态分布进行设定则较为合理的（共轭先验分布）——由于希望加热到的合适温度为42℃，因此，把平均值设定为42℃这样一种正态分布。而由于标准偏差无论如何设定都是有可能的，那么就暂且设定为3℃吧。总的来说，就是进行以下设定：

先验分布的设定：类别θ遵循平均值为42、标准偏差为3的正态分布。

步骤2：在类别θ的基础上，求出测量40℃这一温度得到的概率密度的函数

贝叶斯推理的下一个步骤，是在确定类别之后，计算从这个类别中所获得特定的信息的概率密度。以癌症检查的例子进行说明，则为“患癌症”的人的检查结果呈“阳性”的事件，即“癌症＆阳性”的概率。把其他几种情况都列举出来，则为：计算“癌症＆阴性”、“健康＆阳性”、“健康＆阴性”这4种可能性出现的概率。这些都是按照“类别＆信息”的形式组合而成的。

在烧水的问题中，“类别＆信息”，则是以“（实际的水温θ）＆（测量的温度x ）” 这种形式出现的。但在该组合中出现了两个难题：第一，与癌症检查中出现4种可能性不同，该情况下，存在无限种可能的组合形式。因此，不能通过图表来进行举例说明（而第19讲中的贝塔分布的情况，由于信息只有“女孩”“男孩”2种情况，因此勉强能够用完整的图表来举例）。第二，“类别＆信息”的概率，虽然是通过“条件概率的公式”（见15-3）计算得来的，但这种情况下的计算太过复杂，对于不是那么精通数学的人来说很难理解。

因此，本讲中按照以下方式进行处理：

・在基本事件“（实际的水温θ）＆（测量的温度x ）”中，只用图表列出“θ＆40”的概率分布。（由于在此之外还存在“θ＆38”或“θ＆40”等无限的可能性，因此不对其一一进行图表列式）。

・若把基本事件“θ＆40”的分布调整为满足标准化条件的形式，则为正态分布。此外，关于如何计算它的平均值和标准偏差的问题，此处只给出结论。

以上述方针为前提，下面我们继续来进行解说。

图表21-1　采用正态分布的贝叶斯推理

在图表21-1 中，上方部分的开口朝上的图表为θ的先验分布。正如设定的那样，为平均值42、标准偏差3的正态分布。

而下部分的开口朝下的图为，表示类别为θ（当实际水温为θ）时，测量出的结果为40℃的概率密度的图表。换言之，即根据测量出来的温度，从划分的情况（测量结果为37℃或45℃等所有情况）中，只抽取40℃这一测量结果而形成图表。

步骤3：求出后验分布，并计算其分布的期待值

在图表21-1中，由于针对各个θ，只画出了在其基础上表示观测到40℃的概率密度的部分，因此，并不满足标准化条件，这与以往所有的贝叶斯推理是一样的。若将其调整为满足标准化条件的比例关系，则可以得出以下结论：

后验分布 　将基本事件“θ＆40”调整为满足标准化条件的比例关系，那么可以得到“在获得40℃这一信息之后，各θ的后验概率”。该后验分布即为，关于θ的正态分布。 而该正态分布的平均值（分布的期待值），可以通过以下计算得出。

θ的后验分布的期待值＝

上述计算过程的具体含义，将在下下节中进行解说。