18-6　通过贝塔分布来计算期待值

学习完上述知识后，下面我们来思考连续型概率分布的期待值。在连续型概率分布中，由于已经给出了连续无限个数值的概率密度，所以很难通过各个数值来掌握其存在方式，而只有通过图表的形状来把握才比较现实。在这个前提下，能够通过一个数值来代表分布的期待值的作用就更为重要了。

下面以贝塔分布为例，来讲解连续型概率分布期待值的知识点。即便如此，在连续型的情况下，如果要定义并计算其期待值，依然需要进行积分计算，因此本书仅对其结果进行介绍。

第17讲中讲解过，贝塔分布中，将α、β设为大于1的常数，如下所示：

y＝（常数）×x a-1 （1-x ）β-1 　（0≤x ≤1）

x 为基本事件的数值，y为概率密度。贝塔分布的期待值的公式如下：

（贝塔分布的期待值）＝

具体解说可参照“补讲”部分。

下面，针对第17讲中列举出的贝塔分布，使用该公式计算其期待值，并试着用图表示出来。

首先，α＝β＝1时，贝塔分布的常数函数为：

y＝1　（0≤x ≤1）

其期待值为：

由于其概率分布图是左右对称的，所以挑担偶人的支点一定在正中间。

图表18-6　α＝1、β＝1时贝塔分布的期待值

α＝2、β＝1时，贝塔分布的一次函数为

y＝2x （0≤x ≤1）

其期待值为：

此时，如果取2/3处作为支点，挑担偶人将保持平衡。观察图表18-7 ，可以理解其原因。

图表18-7　α＝2、β＝1时贝塔分布的概率分布图

α＝1、β＝2时，贝塔分布的一次函数为

y＝2（1-x ）（0≤x ≤1）

其期待值为：

我们可以清楚地看到，该图即为上一个例子左右颠倒后的图像。因此，挑担偶人的平衡方式，也与上一个例子呈左右调转状。

图表18-8　α＝1、β＝2时贝塔分布的期待值

α＝2、β＝2时，贝塔分布的二次函数为

y＝6x （1-x ）（0≤x ≤1）

其期待值为：

该概率分布图为左右对称的抛物线，因此挑担偶人的支点在正中间。

图表18-9　α＝2、β＝2时贝塔分布的期待值

最后，α＝4、β＝3时，贝塔分布的函数为

y＝60x 3 （1-x ）2 （0≤x ≤1）

其期待值为：

图表18-10　α＝4、β＝3时贝塔分布的期待值