18-5　计算掷骰子和生女孩案例中的期待值

我们已经了解了期待值的概念和含义，下面来试着计算以下两个例子中的期待值，并用图来表示。

第一个例子，掷骰子的期待值。基本事件为：

{1，2，3，4，5，6}

概率为：

依据期待值的定义进行计算：

（掷骰子的期待值）＝

如果沿着“使挑担偶人保持平衡”的思路来思考，甚至不需要进行计算。如图表18-4 所示，由于掷骰子的概率分布图是左右对称的，那么在挑担偶人模型中，平衡的支点必须为正中。因此，期待值为3.5。

图表18-4　掷骰子的期待值

下面，我们来回顾一下第4讲中关于“某对夫妇第二胎生女孩的概率”这一案例，来计算该例中的概率分布期待值。

在这个例子中，设定x ＝0.4、0.5、0.6时的概率分布为0.27、0.33、0.4。

由此可计算出期待值为：

（x 的期待值）＝0.4×0.27＋0.5×0.33＋0.6×0.4＝0.513（见图表4-8）。

我们再思考一下关于该模型的问题：已经该夫妇的第一胎为女儿，那么，设定问题为“该夫妇生的第二胎依然是女孩的概率是0.4？0.5？还是0.6？”之后根据贝叶斯推理，计算出对于0.4、0.5、0.6的后验概率分别为0.27、0.33、0.4。这意味着，“第二胎依然是女孩”的概率为0.4的可能性是0.27，概率为0.5的可能性是0.33，为0.6的可能性是0.4。而这些数值作为“概率的概率”这样一种双重概率，也就是“关于概率的概率分布”。

图表18-5　某夫妇生的第二胎依然是女孩的概率的期待值

虽然我们已经知道了0.4、0.5、0.6这三种概率分别对应的可能性数值，但其实我们真正想要的是“该夫妇生的第二胎依然是女孩的概率究竟是多少”的答案。而对此进行估算时，期待值可以作为一个合适的指标。因为期待值是代表概率分布的数值 。因此，根据图表18-5 可以进行如下推算：

（第一胎生女孩的夫妇，第二胎依然是女孩的概率）＝0.513

在没有获得任何信息时，认为概率是0.5的想法是妥当的；而在已知第一胎是女孩的情况下，通过贝叶斯推理可以估算出：第二胎依然是女孩的概率要略大于0.5。