9-5　通过贝叶斯推理推导出矛盾

下面，我们试着用贝叶斯推理来探讨一下这一类问题。这几个案例具有共性，我们选择其中的蒙蒂霍尔问题来进行具体分析。

首先，设定类别和先验概率。

用A、B、C分别来表示“A帘后面藏着汽车”、“B帘后面藏着汽车”、“C帘后面藏着汽车”这三种情况。最终结果肯定是这三种情况之一，因此可以认为：共有三种可能性。那么，可以将这三种情况先验概率均设为1/3，各自相等，如图表9-1 所示。

9-5　通过贝叶斯推理推导出矛盾 - 图1 图表9-1　根据理由不充分原理得到的先验分布

现在的问题是，之后该如何设定条件概率。在你选择了A帘的时刻，就必须对于主持人一会儿将打开B帘还是C帘的问题设定条件概率，设定的标准如下所示。

条件概率的设定

如果A帘后面藏有汽车的话，那么主持人打开B帘和C帘的概率各为1/2。如果B帘后面藏有汽车的话，那么主持人打开C帘的概率为1。如果C帘后面藏有汽车的话，那么主持人打开B帘的概率为1。

在以上设定的背景下，我们将打开B帘记录为“开B”，将打开C帘记录为“开C”，导入条件概率之后，共有4种可能性，如图表9-2 所示。

9-5　通过贝叶斯推理推导出矛盾 - 图2 图表9-2　条件概率的设定

译者按

图中“B帘且开C”意思是，已选择A帘的游戏者头脑中预想下一步主持人会“开C”（主持人知道B帘中有汽车且只会打开后面没有汽车的帘子），本图其他说明含义同此。

之后，通过主持人打开B帘的行为（开B），我们得知B帘后面并没有汽车。也就是说，因为不需要再打开C帘，所以“选择A帘且开C”和“选择B帘且开C”的两种可能性被排除掉。那么，表示剩余可能性的图表便如图表9-3 所示。

9-5　通过贝叶斯推理推导出矛盾 - 图3 图表9-3　排除不可能发生的情况

根据上图，通过标准化条件对后验概率进行求解，如下所示：

（是A帘的后验概率）：（是C帘的后验概率）

＝1/3×1/2:1/3×1

＝1:2

＝1/3:2/3

至此，A帘后面藏有汽车的概率变为1/3，C帘后面藏有汽车的概率变为2/3。因此，如果你相信上述推算结果的话，就应该改变最初的选择。

对于三个囚犯的问题，也可以采用相同的思路进行贝叶斯推理，这样得出的结论是：艾伦被释放的概率为1/3，查尔斯被释放的概率为2/3。

对于上述结果，如果从哲学的角度进行解释 的话，会给人以“因为主持人和看守并未提供与提问者相关的信息，所以提问者的后验概率不会发生变化” 的感觉。然而，会出现这样的想法，是因为还没有摆脱“解释”或“印象”的影响。判断这种解释正确与否的确很困难，说到底，这还是一种哲学性解释。