我的书签
添加书签
移除书签12.4 估值的亮点
如果估值衰落和困境公司的关键是处理负增长（和做一致性假设）与财务困境的话，那么我们需要找出更好的办法处理这两个问题。本节首先为分析衰落公司建立框架。然后，再详细梳理估值这些公司的细节。
12.4.1 应对衰落和困境公司的框架
我们将围绕着两个核心问题，建立我们对衰落公司的分析。第一个问题是，我们在公司经营中观察到的衰落是可逆的或是永恒的。在某些情形下，一家公司可能是处在混乱之中，但可以通过一个新的管理团队使它走上健康轨道。第二个问题是，这家公司是否有很大的可能陷入困境，并不是所有的衰落公司都处在困境中。
为了评估逆转性的问题，我们可以看看这家公司自己的历史，以及板块里其他公司的状况。和没有经过风雨的公司相比，已经经历了市场周期跌宕起伏的公司（就像周期性和大宗商品类公司那样），更有可能恢复到健康状况。类似地，可以认为，在一个充满了健康公司的板块里，经营不善公司的问题更多的不是基本面问题，而是管理不善之故。有了更好的管理，公司即便不能恢复增长，也可能恢复健康。相对来讲，经营不善的公司若是处在充满业绩不良的企业板块里（对这些问题没有明显的微观原因），那么它们的问题是无法通过改换经理人来解决的。
为了评估困境，我们着力的起点是公司经年累积的债务负担。拥有巨额债务负担的衰落企业面临更大的违约可能，会导致经营歇业和债权人的清产。如果这家公司有债券评级公司评级，我们会预期一个低的信用级别，通常是投资级别以下。没有这种巨额债务的公司，即便是利润平平或是没有利润，甚至是负利润，应该能够存活下来。我们如何评估价值这类公司，将取决于我们在困境公司里观察到的可逆转性和衰落性的组合状况。共有四种可能的组合。
●可逆转的衰落，低度困境。如果一家公司收入单薄利润下降，但问题可以解决，我们会遵循在第11章估值控制权中阐述的框架前行。首先，我们会评估公司由现有管理层运营，经营状况会持续衰落；由此产生的当期估值会比较低。然后，我们评估的公司更好的管理已经到位，衰落已被逆转；这个最佳价值应该高很多。最后，我们会评估一个管理变化的概率，并基于当期价值和最佳价值，计算一个预期价值：
预期价值=当期价值×（1-管理变化的概率）+最佳价值×管理变化概率
●不可逆转的衰落，低度困境。如果一家公司的不良业绩不是由于其管理不善所致，并且不能轻易地解决，那么我们就不能以经营的改善来重新评估公司。然而，这家公司使用的资产可能被其他公司（在其他业务领域）置于更好的用途，因此，通过剥离能体现更大的价值。由于这种公司没有压力出售资产，履行其既定的负债义务，它可以按部就班地把这些资产进行变现，为每项资产等待一个最佳时间和最高价格。来自这种有条不紊的变现的收入，为这种公司提供了另外一个评估价值。对于这种公司的最后价值，我们要挑选两个数值中最大的一个：[1]
预期价值=Max（当期价值，有序清偿的价值）
●可逆转的衰落，高度困境。对于具有较大可能性陷入困境的公司，我们会考虑两种行为路径。在第一种路径中，我们会设法把陷入困境的概率计入预期现金流和贴现率，求得调整过困境的价值。在第二种路径中，我们会计算预期价值（就像我们在低度困境条件下所做的那样），然后分别评估公司陷入困境的概率。接着，我们会评估来自困境中资产销售的收入价值，得到公司调整过困境的价值。如果困境得以解脱且公司能恢复常态，衰落可逆转，那么可能就会有给予该公司股权投资人大额回报的可能，实际上是赋予了该公司股权一种期权的特征。
●不可逆转的衰落，高度困境。当衰落不可逆转并深陷困境之中时，我们有了一个价值毒丸组合。如同前一个情形，我们需要为困境调整预期价值，方法或是通过改变计算贴现现金流的输入数据，或是根据困境发生概率，调整无困境预期价值。来自可逆转衰落情形的两大差异会压低价值。第一个差异是，如果困境发生了，来自困境抛售的收入会比较小，既因为购买群体较小（如果该板块的大多数公司都陷入困境），也因为购买者看不到太多的增长潜力。第二个差异是，股权投资者从清偿期权里获益较小，因为最佳情形价值受制于这些资产的不良质量。
表12-2概述了这四种情形。
[1]我们假设这家公司的经理人会采取正确的行动和最佳清偿行为——如果这是提供更高价值的路径的话。如果他们没有这样做，我们需要评估概率，如同我们为经营不善的公司所做的那样。
12.4.2 不可逆转的衰落，低度困境
对某些公司而言，有三个原因使得经营衰落的病症（扁平的收入和下降的利润率）有着不易清除的根系。首先，公司产品和服务的整个市场正在萎缩，并且预期这种现象还会持续下去。其次，板块里的所有公司与被估值公司一样有着某些相同的病症。最后，有些宏观要素可能是衰落的原因，就像经济衰退之于周期性公司或价格周期之于大宗类食品公司。一个例子是许多发达国家的航空业务受制于政府管制。在这项业务中，健康公司一直是个例外，而不是正常现象，大多数公司似乎都是处在破产的边缘，即便在经济景气时期也是如此。
估值这类公司的第一步是评估持续经营的价值——当期已投资产的所得可能会低于其资本成本。实际上，我们对企业的估值都是建立在它会持续经营的假设之上，只是同时它也在蚕食现有投资者的价值。这种现状价值可能远在公司面值之下，这没什么可惊讶的，因为我们预测的公司现有资产是处在负的超额回报状态。如果管理层还要坚持在同样的业务资产中加入新的投资，那么其价值就会雪上加霜。
第二步考虑是持续原有业务还是寻找一个逻辑的替代业务。如果该公司的资产在其他地方（在其他的业务或被其他公司使用）能创造更高的回报，那么我们可以考虑剥离这些资产，逐渐卖掉业务。由于财务困境还不是一个令人担忧的事情，所以公司可以静候正确的时间和最好的价格，以便从资产剥离中获取最大的价值。因此，我们会把这称为“有序清偿”——它会在许多年的过程中逐渐完成。至于评估资产剥离收入的价值如何，不同板块和不同资产的答案不一样，但我们可以提几个建议。首先，预期的剥离收入应该比这些资产现有用途产生的现金流现值更高。如果不是这种情况，这种剥离首先就没有意义。因此，如果一项资产在其目前的用途中，每年能够持续产生5000万美元现金流，用一个调整过风险的10%的贴现率贴现，那么其剥离收入应该超过5亿美元。第二个建议是，这种剥离价值不应该加上一个清偿贴现率，因为这种资产销售没有必要那么急。
一旦我们有了这两种价值在手——作为一个持续经营公司的价值和公司在一段时期内有序清偿的价值，我们预期公司的价值会出自两者中较高的一个。事实上，存在着一个折中的方案。公司资产中对他人更有价值的部分予以变现，公司的其余资产可以继续经营。
例12-3 估值一家处于不可逆衰落的公司：西尔斯，2008年9月
我们将回顾我们早先对西尔斯的估值：我们使用了超级乐观的假设并获得了223美元的每股价值。我们现在的假设是西尔斯不会很快就恢复增长和财务健康。相反，我们假设该公司在没有很大违约威胁的情况下，会在一段时期内关闭一些不太挣钱的商店。它会在这个过程中把所持的某些房产套现，并成为一家资产质量较高的小公司。
在下个五年，随着该公司关闭一些商店，其收入会每年减少5%，从507亿美元的当期水平，降到第五年的392亿美元的水平。五年后，我们假设收缩会停止，其收入会有一个每年2%的永续增幅。
在下个五年，税前营业利润率会以线性增幅从3.05%改善至4%，反映了来自不赢利商店的关闭和其余商店恢复至健康状况而节省的资金。假设税率仍然保持在38%不变。
对于第一个五年，我们会对西尔斯采用当期的资本成本——我们评估的是7.50%。为了获得这个数字，我们对其股票采用的是1.22的贝塔值——基于零售商的无杠杆贝塔和西尔斯的负债股权比率（高于同业均值），以及7.74%的借款税前成本——基于BB的模拟信用等级和3.65%的违约溢价。（政府债券的利率是4.09%，我们假设在做本分析时的股权风险溢价是4.5%。）
股权成本=4.09%+1.22×4.5%=9.58%
税后负债成本=7.74%×（1-0.38）=4.80%
负债率[1]=7725000000/（7725000000+10066000000）=43.42%
资本成本=9.58%×（1-0.4342）+4.80%×0.4342=7.50%
在五年期间，当商店关闭和资产剥离时，西尔斯会减少其已投资本并从剥离中获取收入。为了评估这种收入，我们首先假设西尔斯的资本回报率，会以线性增长的方式在第二个五年，从目前的4.99%的水平提升到7.50%。然后，我们倒推已投资本面值（基于税后营业利润和资本回报率评估值）。采用每年的账面资本变动额为基础，我们把资产剥离收入作为账面价值的一部分进行评估。表12-3按年度报告了这些数字。
由于我们假设最不赚钱的商店会被首先关闭，我们也假设作为资本账面价值的一个百分比的剥离收入在前面几年会低，但随后会逐渐升高。注意，每年收回的已投资本都远在其面值100%以下，从第一年的54%，到第五年的67%。这反映了这么一个事实，即出售投资所带来的回报率是较差的。[2]
作为本项估值的最后一个环节，我们假设资产剥离在第五年结束，并且在第五年后，西尔斯将会转变为一个更传统且稳增长的公司。为了与这个假设保持一致，第五年后，其资本成本降至7.13%，而其资本回报率会永远保持在7.50%，我们可以据此开始评估它的再投资率和终值。
再投资率=增长率稳增长期/资本回报率稳增长期=2%/7.5%=26.7%
终值=税后营业利润5×（1+增长率稳增长期）×（1-再投资率）/（资本成本稳增长期-增长率稳增长期）
=973000000×1.02×（1-0.267）/（0.0713-0.02）=14187000000（美元）
表12-4概述了下个五年的现金流，第五年结束时的终值和这些现金流的现值（用7.50%的资本成本贴现回来）。
加总这段时期的现值，得到公司的经营资产价值为169.18亿美元。加上现金（16.22亿美元），减去负债（77.28亿美元），除以在外的股份数量（1.3201亿），得到81.91美元的每股价值，比当期市价（76.25美元）高出10%。
每股价值=（16918000000+1622000000-7728000000）/132010000=81.91（美元）
[1]包括在这笔负债里的是带息负债的评估市值（30.84亿美元）和未来租赁承诺的现值（46.44亿美元）。股权的市值是建立在本分析时的76.25美元的每股市价之上的市值。
[2]也许我们这里的估计太过保守，毕竟，购买者不会将之作为商店一直保存下来。
12.4.3 可逆的衰落，低度困境
在公司的世界里，再生的奇迹偶有发生：被视为处于衰落中的公司走了出来，回到增长轨道或成熟状态。一个例子就是哈雷-戴维森公司，它是一家风靡一时的摩托车制造商。该公司的销售量在1982年滑到了32400辆摩托车，当年报告的亏损额为3000万美元。正当许多分析师给它写墓志铭时，一个新管理团队制定了一个新战略，燃起了忠诚客户对其品牌的膜拜，使哈雷恢复了赢利能力和财务健康状况。
值得注意的是，大多数陷入困境的公司没能挺过来，重新挺直脊梁并非易事。因此，在我们评估衰落公司在何种情形下可逆转、在何种情形下不可逆转时，我们应该采用现实主义的态度。如果存在着一个或若干个下述因素时，衰落公司可能会逆转。
●被分析公司有经营起伏的历史，并曾经从衰落中挣扎回来。当时公司的收入增长和利润周期可能正处在恢复的过程中，对这种公司的估值，应该考虑到这一点。
●在大多数情况下，这类公司所处的板块或行业是健康的，被分析公司更多的是例外而不是通例。大多数竞争者都在增长并赢得合理的回报，只是该公司没有，似乎合理的结论是衰落只是该公司所做选择的结果，并且新管理层具有令人信服的能力，将会使公司恢复活力。
●该公司所做业务能够受惠于宏观经济趋势。如果经济景气的话，即使是业务周期性很强的衰落公司，也能看到其经营结果的改善。
注意：虽然我们可以得出结论认为衰落可能逆转，但没人能担保其一定出现。
估值衰落公司的第一步（有逆转可能性）是评估现有政策和战略的价值状况——尽管其过去是失败了。由于我们假设衰落会持续，公司收入曲线虽然会持续其扁平状，利润率还会继续下降，现有资产和新投资的资本回报率都会低于资本成本（都是价值蚕食病症）——这些都是完全可能的。实际上，我们正对公司的现状进行评估，并假设它自己无法走出来。
第二步是假设该公司的命运会被上帝眷顾，或是通过新的管理层/所有者，或是通过现有管理层改变其策略。假设该公司将恢复财务健康，如果不是立刻实现，也是在不远的将来，我们可以重新评估公司的价值——经营的改善导致新现金流的出现。如果板块的其他公司都是健康的，我们可以假设公司的利润率和已投资本回报率，将会恢复到行业的平均水平。如果不是，我们可以看看该公司的历史，以便了解它回到健康状况将是一个什么状态。有了这些改进的到位，在新的或最佳的管理之下（和其现状相比），我们应该为公司推导出一个更高的价值。
第三步是，采用一些我们在第10章描述的技术，评估管理改变发生的概率。使用主观判断和定量技术一体化的方法，我们可以计算公司管理变化的可能性。然而，这个评估值会随着外部环境的变化而改变，如激进投资者的进入会改变我们的评估。基于变化的概率，该公司预期价值此时会反映现状价值和最佳价值的加权平均数。
12.4.4 困境
不是所有的衰落公司都处于财务困境，也不是所有陷入困境的公司都是衰落公司，但困境和衰落似乎是一对孪生兄弟。我们这一节的开篇辞是：困境会频繁发生，并对价值有严重影响。然后，我们来梳理那个把困境计入现金流贴现估值中的方法。我们还要研究这么一个概念，即股权投资者可能从清偿公司的期权中获取价值。在结束这节时，我们会看看如何对相对估值法进行较好的调整，以便更好地处理困境问题。
12.4.4.1 财务困境的概率及其后果
增长并不是一件必然的事情，公司不会总处在持续经营的状况。事实上，即使是大型的上市公司有时也会陷入困境，其后果对价值的影响是严重的。本节首先考虑公司陷入困境的频率；然后关注公司遭遇这种事件时的代价。在结束本节时，我们会探究在过往的估值中，当困境发生的频率一定的情况下，为什么我们没有关注这个问题。
1.困境的概率
和我们的假设相比，现实世界中公司陷入财务困境的情况要普遍一些。事实上，只要随意的观察也会使我们意识到，大量的公司没能活下来，先后关门倒闭。有些公司是由于借债经营无法偿还，其他的则是由于资金链断裂，没有现金补偿其经营所需。
为了衡量困境概率，我们首先定义困境。若我们把困境定义为进入第11章破产程序的公司，那么在任一时点上，都没有几家公司可被视为陷入困境。若我们把困境更广泛地定义为，不能按时支付利息和履行其他合同承诺的公司状况，那么困境就更加普遍了。在1980~1983年，卡尔研究过美国所有的上市公司，发现有1346家公司至少有一年时间，难以用营业利润支付债务利息。另外，有151家公司可被认为是陷入了财务困境，在与债权人谈判重组债务了。[1]进一步跟踪这些公司，他发现其中不到一半的公司申请了破产清算，其中只有1/3作为独立公司生存下来。其余的要么被并购，要么清产关门。
2.困境的后果
资金链断裂的后果如何？不能偿付债务的公司必须变现其资产，通常是廉价出售，用所得现金偿还负债。如果还有剩余的现金（多半不可能），就把它们付给股权投资人。无法支付营业需求的公司，也得把自己出售给最高出价者，把所得收入分发给股权投资者。实际上，这些“变现费用”可被视为破产清算的直接费用。
事实上，与困境公司相关的费用远远超越了传统的破产清算费用。由于雇员、客户、供应商和放款人的反应，陷入困境的秘密泄露后，对公司经营危害很大。被视为陷入困境的公司会失去客户（和销售额），员工的流失率会更高。从供应商那里得到的条件要比健康公司严苛得多。这些间接的破产成本对许多公司都是灾难性的，并且它可以把困境感觉变为现实。有些调研报告研究过这些费用的规模；它大约占公司价值的10%~23%。[2]
总之，困境的概率和成本都很大，无法在估值中忽略。那么现在问题就变成了：不是要不要依据困境的潜在影响对公司价值进行调整的问题，而是如何做最佳的调整。
3.现金流贴现估值中的困境问题
考虑一下如何在一个贴现现金流的世界里估值一家公司。我们从预测一个阶段的现金流开始。然后，我们会在这个阶段结束时，评估其终值（我们认为公司在这个时点上价值多少）。最后，我们用一个反映公司现金流风险的贴现率来贴现这些现金流。这种方法非常灵活，可估值的公司范围很大——从只有预测利润的到几乎没有增长的公司，再到遭受负利润和负现金流侵蚀但高增长的公司。然而，这种方法隐含着一个假设，即该公司是一家持续经营的公司，并且潜在的寿命是无限的。终值通常的评估方法是，假设利润增幅不变且永远持续下去（一个永续增长率）。即便是采用一个收入倍数或利润倍数评估终值，这个倍数也是通过研究上市公司得来的（通常是那些健康的公司）。
在已知了困境的概率和后果后，如果我们在估值公司时还是忽略这种可能性，那我们真是鲁莽了，特别是在估值一家健康状况不佳且大量负债的公司时更是如此。因此，你会好奇，对于没有在现金流贴现估值中明确考虑进公司陷入困境可能性的人，他们的理由是什么呢？有五种理由。持有头两个理由的分析师认为没有必要在估值中明确地考虑困境。后面三个理由的追随者认为现金流贴现估值已经把困境的影响计入其中了。
（1）我们只是估值大型的上市公司，困境对于这些公司是不可能的事情
不错，对于根基更加稳固的大公司，其陷入困境的可能性要低些，但经验告诉我们，即便是这些公司都可能陷入困境。2008年的最后几个月目睹了全球范围的几家大公司陷入末日。在2008年年底，分析师都在公开讨论通用汽车和福特汽车无力支付债务并会宣布破产重组的可能。另一个相关的问题不容忽视：规模较小但高增长的上市公司，也需要和较大的公司一样进行估值。事实上，我们可以认为，较小的公司更需要估值，因为这里发生定价差错的不定性和可能性更大。对于这些公司，忽视它们的潜在困境是很愚蠢的。
（2）我们假设获取资本的通道是无限制的
在估值中（如同很多公司融资一样），我们通常假设，业绩好的公司可以指望通过资本市场，募集足够的资金满足其财务和投资需求。因此，增长潜力大的公司绝不会被挤出市场，它们能够募集必要的资金（更多的是股权而不是债权）保持公司的经营。在活跃和发达的金融市场上，这个假设并非奇谈怪论。例如，20世纪90年代末，还在亏损且几乎没什么资产的新经济公司，都能够很容易地发行新股。但是，即便是在美国这样公开的易于进入的市场，在危机期间进入市场的通道也会被冻结。在2008年的最后一个季度，甚至连通用电气也难以对其商业票据进行展期。总之，在1998~1999年，我们能够接受这样的假设，即资产良好的公司不会窘迫到被迫出售资产，但这个假设在2009年简直是天方夜谭。
（3）我们要为出现困境的可能性调整贴现率
贴现率是我们在现金流贴现估值中用于调整风险的载体。公司的风险越高，其股权的成本就越大，负债成本就越高，通常其资本成本比更安全的公司高。我们这里可以导出一个合理的推论，陷入困境可能性大的公司具有更高的资本成本，其公司的价值更低。至此，这项讨论到了一个有价值的点。困境公司的资本成本（评估正确的话）应该比更安全公司的资本成本高。如果困境是由高财务杠杆引起的，公司的股权成本应该高很多。由于负债成本是建立在当期的借贷利率上的，它也会随着公司破产风险的增大而攀升。如果借钱的税收好处也消失了（营业亏损之故），那么这种影响会被进一步恶化。所以，采用更高贴现率仅仅是调整一部分。此时，公司仍然被假设在创造永续的现金流，只是现值低了不少。公司当期价值的很大部分还是来自于其终值。换言之，财务困境的最大风险（未来现金流的丧失）没有在估值中充分体现。
（4）我们要为出现困境的可能性调整预期现金流
为了更好地理解这种调整，有必要回顾一下，在现金流贴现估值中，预期现金流是衡量什么的。一年中的预期现金流应该是，公司在所有情形下（从最好的情形到最差的情形）现金流的概率加权评估值。换言之，如果一家公司下一年的夭折率是30%，那么预期现金流应该反映这个概率和由此产生的现金流。实践中，在评估预期现金流的过程中，我们通常要草率得多。事实上，我们通常是采用基于当期利润或收入的预期增长率的外在评估值（来自分析师的评估）来评估未来的价值。另一种做法是，我们通常为不赢利的公司勾勒出一条通往赢利的乐观之途，并把它作为评估预期现金流的基础。我们可以基于所有的情形评估预期现金流，并在我们的估值中使用这个预期数值。因此，对于陷入困境概率大的公司，预期现金流会低很多。但要注意，不同于传统的思维，这不是一种风险调整。而是在做一个早就应该做的事情——正确地评估预期现金流。如果想要对现金流进行风险调整，我们需要采用一个确定性等价，[3]对预期现金流做更加向下的调整。但是，如果我们这样做，使用的贴现率必须是无风险利率，而不是调整过风险的资本成本。作为一个实践的问题，针对困境的可能性调整预期现金流是一件非常困难的事情。不仅是因为我们要评估每年的困境概率，我们还必须跟踪陷入困境的累计概率。这是因为在第三年陷入困境的公司，不仅会失去那一年的现金流，也包括所有随后年份的现金流。
（5）我们假设，即便是在困境之中，公司也可以得到来自其资产出售的预期现金流的现值
从现金流贴现估值的角度看，与困境相关的问题不是企业生命停止本身，而是，在那个时点之外的所有的现金流都丧失了。由于在其生命早期就夭折了，因此，有些产品很好和市场潜力巨大的企业，永远也无法把这些优势转化为现金流。如果我们假设这种公司能把自己卖给出价最高者，所售资产价值等于它未来预期现金流的现值，那么这种困境就不能被视为为明显的困境。这是一个非常困难的假设。我们不仅假设处在困境的公司有讨价还价的能力，能为其资产争取到公允的市场价值，还假设它不仅能为现有资产（已经完成的投资和已经生产的资产），也能为其增长型资产（能在未来生产产品）实现公允价值。
总之，如果满足了下述条件，即便没有明确在现金流贴现估值中考虑进困境问题，公司价值的估值也不会受到重大影响。
●没有破产的可能，或是由于公司的规模或地位之故，或是因为政府担保使然。
●资本市场的便利性使有好投资项目的公司能够募集到债务或股权资本，使其渡过难关，确保公司不会被迫从事亏本抛售。
●我们采用的预期现金流，计入了发生困境的可能性，并就贴现率做过与公司困境相关的风险调整。另外，我们需要假设这种公司在出现困境抛售时，其收到的销售收入等于作为一个持续经营公司应该得到的未来预期现金流现值。
如果这些条件没法满足（有些公司在某个时点上是很难满足这些条件的），那么现金流贴现估值法就高估了公司价值。
12.4.4.2 现金流贴现估值
若没把公司困境考虑进现金流贴现估值时，何时会对公司价值产生重大影响呢？如果困境发生的可能性大，进入资本市场受限（由于内部或外部的因素），并且困境抛售收入远低于持续经营的价值，现金流贴现估值会高估困境公司的企业价值和股权价值。即便是现金流和贴现率评估正确的情况下也会如此。本节阐述把困境影响计入评估价值的几种方法。
1.模拟法
在传统的估值中，我们要评估每个输入变量的预期值。例如，在估值一家公司时，我们可以假设一个每年30%的收入预期增长率，外加一个10%的预期营业利润率。在现实中，每个变量都有一个可能的价值分布——我们把它们最终压缩到一个预期值。第3章提到，模拟法采用的不仅仅是预期值，而是整个概率分布的信息。由此，它们给我们一个正面处理困境的机会。
在我们开始运算模拟前，我们需要确定构建困境的环境和困境发生的环境。例如，我们可以设定三年的累计营业亏损超过10亿美元，将使公司陷入财务困境，并且在困境发生时，公司将以其资产面值25%的价格抛售资产。有关困境的参数不仅会因公司的不同而异（基于规模和资产特征），也会受制于金融市场和整体经济的状况。和处于危机经济环境中的类似公司相比，处在一个股市活跃的健康经济环境中，已经遭遇连续三年亏损的公司，其违约风险的敞口要小些。
模拟法还是遵循第3章阐述的标准步骤。首先，选择我们计划评估其概率分布的变量。有一些变量（收入增幅和利润率）是专属这类公司的。其他的一些变量（如利率）则是与整体经济有关的。然后，我们评估这些变量的概率分布。在每次模拟计算中，我们从每个分布（收入增长率、利润率和利率）里提取一个结果，并评估公司的利润和现金流。如果困境的临界点被触及，我们假设该公司将陷入困境，并评估困境抛售价值。如果困境条件没有被触发，我们把公司作为一个持续经营的实体进行估值。所有模拟值的均值就是该公司的价值。我们也应该能够利用模拟法评估违约的概率，以及困境对价值的影响。模拟分析的主要局限是需要大量的信息。在实践中，很难选择一个正确的分布来描述一个变量和那个分布的参数。当草率或随意地做这些选择时，模拟的结果看起来是那么回事，但实际上没有传递有价值的信息。
2.修改版的现金流贴现估值
我们可以调整现金流贴现估值法，反映某些或大部分困境问题对价值的影响。为了达到这个目的，我们要把困境问题的影响计入预期现金流和贴现率。
（1）评估预期现金流
为了把困境问题的影响植入现金流贴现估值，我们需要把公司夭折的可能性计入其预期现金流里。若求完美的话，我们必须考虑所有可能的情形，从最乐观的到最悲观的，并且它还要求我们赋予每种情形的现金流一个概率，并评估每年的预期现金流。
预期现金流=×现金流jt
式中，πjt是情形j在时期t中发生的概率。现金流jt是在那个时期和那个情形下的现金流。这输入数据每年都要评估，因为这个概率和现金流多半每年都会变化。注意：对发生困境的调是一个累计的调整，在后面的年份会对预期现金流有更大的影响。因此，如果在第一年发生境的概率是10%，在随后年份的预期现金流必须反映这个事实，即如果该公司在第一年停摆那么随后就不会有现金流了。如果第二年的发生困境的概率还是10%，那么该公司在第三还有现金流的概率仅为81%。[4]
（2）评估贴现率
在前面的一节中，我们提到过为陷入困境的公司评估资本成本的问题。回归贝塔常常滞后于困境的出现，因为它们是基于过往时期的数据进行评估的。同样，负债成本会向上走（如果我们采用该公司债券发行的市场利率），或向下偏（如果我们坚持采用面值利率）。为了评估能真正反映公司困境发生的贴现率，我们必须采用以下标准的方法。
●为了评估股权成本，我们有两个比回归贝塔更合理的评估值可选择。不用回归贝塔，我们可采用自下而上的无杠杆贝塔和公司当期市场的负债股权比率。由于困境公司常常有很高的负债股权比率——多半由滑落的股价所致，由此产生的杠杆贝塔要比回归贝塔高很多。[5]如果我们把这一点与困境公司通常无法利用负债税收优惠联系起来看，那么杠杆贝塔会变得更高：
杠杆贝塔=自下而上的无杠杆贝塔×[1+（1-税率）]×负债股权比率
注意：有必要基于我们对该公司的预期，重新评估将来的负债股权比率和税率，并为反映这些变化而调整这个贝塔。[6]另一个选择是评估股权成本，采用一个更能反映该业务的健康公司的贝塔，然后再加上一个困境溢价反映财务困境：
股权成本=无风险利率+贝塔健康公司×股权风险溢价+困境溢价
我们采用两种方式计算困境溢价。可以看看困境公司股权回报的历史数据，或用公司自己的税前负债成本与行业的平均负债成本相比较。如果行业平均的负债成本是8%，而公司税前的负债成本是16%，那么我们就把8%加到传统的股权成本评估值里。
●为了为困境公司评估负债成本，我们推荐使用基于公司债券等级的违约溢价：
税前负债成本=无风险利率+基于债券等级的违约溢价
如果公司没有评级，我们会为其评估一个模拟信用等级。这仍然会带来一个较高负债成本，但当违约被视为是迫在眉睫时，它比到期收益更合理。[7]
●为了计算资本成本，我们需要评估负债和股权的权重。在起始年，我们应该采用当期市场的负债资本比率（对于一家困境公司来说可能非常高）。随着我们预测未来年份并融入我们对赢利能力改善的预期，我们应该朝着更合理的水平调整负债率。对整个估值期采用目标负债率的传统做法（反映行业均值或最佳组合）会导致杠杆率过高，公司的价值评估走形。
●采用这种方法的最大障碍是，即便在其有限制的形式里，我们也很难评估其预测期中每年累计的困境（和生存）概率。因此，预期现金流不会完全计入困境的影响。另外，很难把持续经营和困境公司的假设计入同一个模型。我们试图采用概率这样做，但是，就市场如何运作和困境公司如何随时间演变问题上，这两种方式所做的假设不仅不同，并且相互矛盾。
3.单独处理困境
对于在前一节阐述的修订版现金流贴现模型，有一种替代方式：把持续经营的假设和由此产生的价值，与产生于困境的价值分开。为了对发生困境的影响进行估值，我们评估预测期公司陷入困境的累计概率，并评估来自困境资产甩卖的收入。此时，公司的价值可以计算如下：
公司价值=持续经营价值×（1-π困境）+困境甩卖价值×π困境
式中，π困境是估值期发生困境的累计概率。除了使估值更简单外，它使我们在每一次估值中都可做到一致性假设。
你可能想知道这种方式与更加传统方式（评估深陷困境公司的清偿价值）之间的区别。你可以把甩卖销售价值视为清偿价值的一个版本。如果你假设发生困境的概率是1，那么实际上，公司价值会聚于清偿价值。这种方式的好处是，它使我们考虑了困境公司恢复持续经营的可能性。
（1）持续经营的现金流贴现估值
为了估值作为持续经营的公司，我们考虑的仅是公司生存的情形。评估的仅是来自这些情形的预期现金流，因此，其价值会高于来自修订版现金流贴现模型预期的现金流价值。在评估贴现率时，我们假设如果公司杠杆过度，其负债率会随着时间降下来，还假设如果公司进入赢利点的话，它能够从负债中收获税收好处。这与公司仍然处在持续经营的假设相一致。虽然没有一个明确的调研报告说明，但我们观察到的使用最多的现金流贴现估值，是持续经营型估值。
一个不太精确（但更容易）的选择是，假设公司今天是健康的情形下估值公司。这就要求评估公司在健康情形下所创造的现金流。这只需要用行业健康公司的平均营业利润率，替代该公司的营业利润率就可以完成了。困境公司的资本成本可以设定为行业的平均资本成本，并且可以计算公司的价值。这种方式的危险是，它会高估公司价值，原因是它通过假设公司恢复财务健康的过程，既是无痛苦的也是可即刻实现的。
（2）评估发生困境的概率
这种方法的一个关键是，评估困境发生的累计概率。本节考虑三种评估这种概率的方式。首先是统计方式。我们这里把发生困境的概率与公司可观察到的特征（公司规模、杠杆率和赢利能力）关联起来，方法是把前些年的已经破产倒闭的公司与没有破产倒闭的公司相比较。第二个是不那么数据密集型的方式——我们使用公司的债券评级和该公司在那个信用级别的实证违约率。第三种方式是采用该公司发行的公司债券价格倒推出发生困境的概率。
●统计方式。每年都有成百上千的企业倒闭，为我们提供了一个丰富的数据库，我们可以据此来评估为什么会发生破产和如何预测未来破产的发生。在最早使用这种方法做研究的学者中，奥特曼就是其中之一。他使用线性判别分析，得到了一个他称之为Z分的指标。从第一份手稿开始，他对这种分析公式进行了几次升级，最终的Z评分模型是五个比率的函数。
Z=0.012×运营资本/总资产+0.014×留存利润/总资产+0.033×息税前利润/总资产+0.006×股权市场价值/总债务面值+0.999×销售额/总资产
奥特曼认为我们可为公司计算Z分值，并据此预测哪些公司将会破产，他还提供了证据佐证其观点。自从其研究公布以来，学术研究者和实证者都研究出各自的信用分值版本。[8]无论其在破产预测中有用性如何，这种线性判别分析提供不了破产的概率。为了获得这样一种评估值，我们采用了一个类似的变量——几率。在一个几率里，我们开始于线性判断分析中使用的相同的数据——一个包括生存了一段时间的公司和夭折了的公司样本。我们推导出了一个数值在0和1之间的指示变量，如下所述：
然后，在那段时期开始时，考虑我们可以得到的并能使我们把破产公司和不会破产公司区分开来的信息。例如，我们可以在这个时期开始时，审视样本里所有公司的负债资本比率，现金余额和营业利润率。我们会预期高负债资本率、低现金余额和负利润的公司，更易于破产。最后，采用困境虚拟变量作为我们的因变量、财务比率（负债资本比和营业利润率）作为我们的自变量，寻找某种关联性：
困境虚拟度=a+b×负债资本比率+c×现金余额/价值+d×营业利润率
如果这种关系在统计上和经济上都比较明显，我们就有了评估破产概率的基础。[9]这种方法的好处之一是，它可以扩展到囊括没有大量负债但有陷入困境可能性的公司。例如，我们可以把年幼技术公司陷入困境的可能性，与其现金支付率联系起来（现金支付率，俗称烧钱率，是衡量公司营业现金需求与公司手里拥有的现金数量之比）。[10]
●基于债券评级的方式。许多公司（特别是在美国的）都有一个由评级公司评有信用等级的债券。这些债券等级不仅传递着违约风险信息（至少是评级公司看到的违约风险），并且，它们内含丰富的历史。由于债券评级做法已经有几十年了，我们可以审视一下每一级别债券的违约情况。假设信用评估公司还没有明显改变其评级标准，我们可以把这些违约概率作为输入数据，带进现金流贴现估值模型。奥特曼评估了（发行后）5~10年期不同信用级别债券的违约概率。这些评估值见表12-5。[11]
先做一个解读，信用等级为BB的债券累计违约概率在下一个十年的起点是19.63%。什么是这种方式的局限呢？首先，我们把违约概率的责任委托给了信用评级公司，并假设它们没有辜负我们的希望。其次，我们假设评级标准也不会随时间而变化。再次，表12-5度量了证券违约的可能性，但它没有说违约公司是否会关门歇业。许多公司在违约后仍然持续经营。我们用来例解这种方式的两家公司是三角洲航空公司和拉斯维加斯金沙集团，两家公司在2009年年初都有很大的违约概率：
●基于债券价格的方式。估值债券的传统方式是，以计入违约溢价的负债成本，贴现承诺的现金流，最终得到债券价格。考虑一种替代方式。我们可以贴现债券的预期现金流——会比承诺的现金流要低，原因是违约概率（用无风险利率给债券定价了）。如果我们假设一个不变的年度违约概率，我们可以为在第N年到期的固定息票债券的价格表述如下：
现在可以用这个等式与市场交易的公司债券价格倒推出该债券的违约概率。我们解出的是债券生命期内年度违约概率。我们这里忽略一个现实情况，即年度违约概率在前几年会比较高，在后几年会逐渐下降。这种方式的优点在于简单，但在使用它时，我们得加上下述警示。首先，注意我们不仅要找到该公司发行的普通债券——诸如可转换的特性会使这种方式失去有用性，还要能得到该债券的价格。如果公司债券是通过私募发行的，这种方式就不可行了。其次，同一公司发行的不同债券所评估的违约概率可能不同。这些不同可以追溯到我们所做的假设，即违约的年度概率保持不变，而其他的可以归结为债券定价的错误。再次，就和前一个方式一样，未能按约支付债务并不总会导致破产倒闭。最后，我们这里假设息票利率要么全额支付，要么一点也没有。如果出现了利息的部分支付或面值的违约，我们采用这种方式就会高估违约概率。
例12-4 采用债券价格，评估破产概率：拉斯维加斯金沙
在2009年1月，拉斯维加斯金沙有一份息票率为6.375%的债券，到期日是2015年2月，交易价格为529美元。其违约率的评估如下（以3%的政府债券利率为无风险利率）：
为求得破产概率，我们看看下述数值：
π困境=年度违约概率=13.54%
这里我们评估十年期的陷入困境的累计概率：
生存十年的累计概率=（1-0.1354）10=23.34%
十年期陷入困境的累计概率=1-0.2334=0.7666=76.66%
（3）评估困境甩卖收入
一旦我们评估了企业债务违约并关门歇业的概率，那么我们需要考虑随后的逻辑问题。此时会发生什么？如同我们在本章前面提到过的，问题不在于困境本身，而在于困境公司不得不甩卖的资产价格会低于来自现有资产和未来预期投资的预期现金流现值。通常，它们甚至无法得到来自现有投资所创现金流的现值。因此，我们需要评估的一个关键数据是陷入困境时甩卖资产的收入。我们有如下三个选择。
●以现金流贴现模型，评估预期现金流的现值，并假设困境甩卖仅能得到资产价值的一个百分比（小于100%）。因此，如果现金流贴现估值法算出的资产价值为50亿美元，我们可以假设困境甩卖的价值为30亿美元。
●把评估的仅来自现有投资的预期现金流现值作为困境甩卖价值。其实，我们是在假设购买者不会在困境甩卖中支付未来投资的价值。实际来讲，我们评估困境甩卖价值的方式是，只是考虑已经在位资产的恒定现金流（没有增长）。
●评估困境甩卖收入最实用的方法是，基于其他困境公司的经验，把这种收入视为资产面值的一个百分比。
注意，在评估困境甩卖收入时，出现的许多问题（以低于公允价值出售的必要，需要出售的紧迫性）是与清偿价值相关的问题。
例12-5 评估2009年1月困境甩卖收入：拉斯维加斯金沙
为了评估在困境甩卖之下的预期收入，我们考虑几个因素。首先，2009年1月经济的惨状以及正在进行的信用危机，对任何急于清偿资产的公司都不是好预兆。其次，拉斯维加斯金沙的资产基本是都是房地产，与其他的行业相比，这个行业的状况是最惨的。为了评估困境甩卖的收入，我们考虑两种可替代的方式。
●我们采用4.01亿美元的平均营业利润（使用拉斯维加斯金沙2005~2008年的数据评估而得），作为来自现有资产的合理利润指标。为了评估现有资产的价值，我们采用38%的公司税率和健康赌博公司的9%的资本成本：
现有资产价值=息税前利润×（1-税率）/资本成本
=401910000×（1-0.38）/0.09=2769000000（美元）
注意：我们假设无增长，并且，任何累计的折旧费用都被再投入公司，以确保赢利能力。一家健康的赌博公司应该愿意支付27.69亿美元购买其现有资产。
●在2008年年底，拉斯维加斯金沙固定资产的面值是112.75亿美元。这代表的是公司投资，是其正在经营的资产（威尼斯赌场、金沙澳门赌场和拉斯维加斯会展中心），也是其新开发的资产。由于这个面值代表着初始投资时的房地产价格，所以我们做两项调整。首先，我们削减40%的价值，以反映拉斯维加斯2007~2009年房地产下跌的幅度。其次，我们评估了一个温和的10%的无流动性折扣，得到下述的困境甩卖价值：
困境甩卖价值=面值×（1-价格贬值）×（1-无流动性折扣）
=11275000000×（1-0.40）×（1-0.10）
=6089000000（美元）
对这两个困境甩卖收入，我们会加上30.4亿美元的当期现金余额，得到总收入金额。由于该公司的未偿负债的面值为104.7亿美元，在发生困境甩卖后，股权投资者不会得到任何款项。
虽然两种方式得到的评估值差别很大，但我们不放心的是基于面值的评估值。的确，该公司的主要投资都是房地产，但同样重要的是，这种房地产的购买者不得不把这些房地产继续作为赌场经营。因此，资产的赢利能力方式（算出了一个27.69亿美元的较低价值）在我们的分析中更加可信。
（4）变化的债务负担
除了具有大额负债外，困境公司常常还有非常复杂的债务结构。它们不仅仅欠许多不同债权人的钱，债务本身常常也很复杂——可转换的，通知偿还型的，并且充满了债权人为了保护自己而要求的各种权利。另外，困境公司常常处在与债权人谈判的过程中——设法说服他们改变债务条款，甚至在某些情形下，还在设法把债权转为股权。因此，债务价值可能每天都会发生巨变，即便是企业价值不变的情况下，也会影响股权价值。
在评估困境公司价值时，我们应该考虑下述工作。
●不要依赖最后的财务报表获取现有负债信息，而应该设法获得未偿负债的最新评估值。在债务谈判于私下（困境公司和放款人之间）进行时，这可能很难。
●我们应该频繁地更新负债的市场评估价值，因为困境公司的违约风险每个时期的变化都很大。即便负债没有市场交易，困境公司把负债面值作为负债市场价值的替代指标也是绝对不合适的。相反，我们应该评估负债的市场价值，视非债券负债为公司债券。
●当遇到可转债时，我们应该把可转换期权从负债中剥离出来，把它视为股权对待。同样，一个简单的方法是把可转债当做纯负债进行估值——这会带来可转债的债务部分，并把可转债的市场价值与其纯负债部分的差额视为股权。
一般情况下，相比于其股权估值而言，估值困境公司要容易得多，主要是因为未偿负债会随着时间而变化。
例12-6 以单独评估困境的方式，估值拉斯维加斯金沙公司
为了以估值困境的不同方式来估值拉斯维加斯金沙公司，我们首先对该公司进行经营状态的估值，假设该公司活了下来并恢复了财务健康。
对于结束于2008年12月的财年，拉斯维加斯金沙报告的收入是43.9亿美元，税前营业利润是2.09亿美元，相应时期的利润率是4.76%。[12]当年初已投入该公司的资本是98.32亿美元，创造了一个极差的税后资本回报率1.72%（假设该公司的有效税率是26%）。
资本回报率=209000000×（1-0.26）/8975000000=1.72%
为了规划一个复兴的途径，首先，如果拉斯维加斯金沙能够起死回生的话，我们需要评估一个我们确信的合理赢利能力指标。为了做这个评估，我们首先看看该公司在过去五年报告的营业利润率和资本回报率（见表12-6）。
2008年对于拉斯维加斯金沙而言，无论是利润率还是回报率都和过去的一般情况大相径庭。随后在2009年年初，我们评估了美国赌博公司的税前平均营业利润率（16.96%）和税后资本回报率（接近10%）。基于这些数字，我们假设拉斯维加斯金沙在成为一家健康公司的情况下，会有一个17%的税前利润率和一个10%的税后资本回报率。
为了给未来预测一个经营成果，我们假设下一年的收入增幅是1%，后年的增幅是2%。我们还假设其收入增幅会增速，特别是在建的两个新赌场投入运营的话。该公司的收入增长率在降到第六年和第十年的5%前，第三年到第五年会增加到20%。我们还假设在未来十年的过程中，公司的利润率会逐渐恢复到目标值。在第五年前，税前利润率会逐步改善到10%，然后，在第十年前，会进一步增加到17%；每一个阶段的变化都会以线性增幅的方式实现。表12-7概述了对未来十年每年的收入、利润率和营业利润的预测。我们采用一个26%的有效税率，评估第一个五年的税后营业利润，但会在第十年前把这个数字逐渐提高到38%。
由于新赌场所需资本多半都已经投入，我们会降低大部分增长期的资本支出；实际上，该公司是寄生于过去的投资。[13]结果，随后两年的再投资率会是负数，因为折旧费会带来大量现金流入。然后，再投资率会在此后的高增长期逐步提升。[14]表12-8列示了该公司未来十年每年的公司自由现金流。
对于拉斯维加斯金沙公司的估值，我们要用一个能反映可支撑其持续经营的资本成本。作为起步，我们采用一个针对赌博公司的1.15的无杠杆贝塔值，根据该公司现有的227.34%负债股权比率，来计算其杠杆贝塔。这个计算是基于本分析时，其股权和负债的市场评估值。股权的市场价值是27.48亿美元（基于此时4.25美元的市场价格和6.41839亿股在外股票）。为了评估负债的市场价值，首先评估负债成本。我们在3%的无风险利率之上再加入一个6%的违约溢价（基于标准普尔给它评估的B+信用级别）。然后，我们采用当期的利息支出（4.22亿美元）及其债务面值（104.7亿美元），得到的负债现值是75.7亿美元。
负债股权市场比率=7565000000/2728000000=277.34%
负债资本市场比率=7565000000/（7565000000+2728000000）=73.5%
杠杆贝塔=1.15×[1+（1-0.38）×2.7734]=3.14
股权成本=无风险利率+贝塔×股权风险溢价=3%+3.14×6%=21.82%
由于该公司仍然有正的营业利润并预期会继续恢复，我们假设它能够全额享用负债的税收利益（基于38%的边际税率）。
税前负债成本=无风险利率+违约溢价=3%+6%=9%
税后负债成本=9%×（1-0.38）=5.58%
采用当期73.50%的负债率，我们为拉斯维加斯金沙公司评估的资本成本是9.88%。
资本成本=股权成本×（1-负债率）+税后负债成本×负债率
=21.28%×0.265+5.58%×0.735=9.88%
但是，我们还假设当该公司恢复健康后，其负债率将会接近50%的赌博行业的平均数。我们也假设其资本成本会降到7.43%，以反映该公司回到健康的轨道。表12-9列示了由此产生的数字。
随着营业利润率的改善，我们会跟踪该公司的资本回报率。我们将计算每年的已投资本（基于再投资），并要不断地检讨经营状况，以确保公司不断地向10%的目标资本回报率靠近。表12-10概述了拉斯维加斯金沙公司每年的已投资本评估值和税后资本回报率。
第n年的已投资本=第n-1年的已投资本+第n年的再投资注意，第十年的资本回报率是10.41%，略超10%的目标资本回报率。
为结束这项估值，我们假设拉斯维加斯金沙公司在第十年后将处于稳增长期，每年的增幅为3%的永续增长率（设于无风险利率的上限）。我们还假设资本回报率为恒定的10%，并且，稳增长期的资本成本为7.43%（来自表12-9）。该公司的终值可以计算如下：
再投资率=增长率稳增长期/资本回报率稳增长期=3%/10%=30%
终值=税后营业利润5×（1+增长率稳增长期）×（1-再投资率）/（资本成本稳增长期-增长率稳增长期）
=1051000000×1.03×（1-0.30）/（0.0743-0.03）=17129000000（美元）
把来自表12-8的自由现金流、刚刚计算的终值和来自表12-9的资本成本聚在一起，我们可以计算公司的经营资产价值（见表12-11）。
加上现金（30.40亿美元），减去负债市值（75.65亿美元），再除以在外的股票数量（6.41839亿份），得到的每股价值是8.21美元。
每股价值=（9793000000+3040000000-7565000000）/641839000000
=8.21（美元）
注意：该公司的负债市场价值远低于104.7亿美元的面值。但是，它与我们的假设是一致的，即拉斯维加斯金沙公司会成为一家能够持续经营的公司。
我们现在可以把困境发生的概率及其影响，带进我们对股权价值的最后评估中。前面，我们对该公司在债券市场上陷入困境的概率评估值是76.66%。我们的结论是其资产的困境甩卖价值会比其未偿负债低，使得其股权一钱不值。该公司的每股股权价值的计算如下：
每股预期价值
=作为持续经营的每股价值×（1-陷入困境的概率）+处于困境时的每股价值×陷入困境的概率
=8.21×0.2334+0.00×（1-0.2334）=1.92（美元）
如果我们对陷入困境的可能性做调整，那么其每股价值仅有1.92美元，只有2009年2月股票价格4.25美元的一半不到。然而，采用28.25%的困境概率（基于B+信用等级）产生的每股价值是5.89美元，比其股票价格高大约40%。拉斯维加斯金沙公司是高估或低估的问题，就变成了该公司发生困境可能性的评估问题。
4.调整的现值
用调整现值法（在第11章有更完整的阐述），我们起步于没有负债的公司价值。当我们把负债加进公司，我们会考虑这对其价值的净影响，方法是既考虑借钱的好处，也考虑借钱的成本。为此，我们假设借钱的主要好处是税收优惠，而借钱最大的成本是新增的破产风险。对于陷入困境的公司，把负债的价值影响与经营资产价值区分开的好处是，可以把更多的注意力放在陷入困境的成本和概率上。
回顾了调整现值的步骤后，我们可以采用三个步骤来评估公司的价值。我们首先评估公司的无杠杆价值，方法是以无杠杆股权成本贴现公司的自由现金流。在公司现金流增幅是永续不变的特殊情形下，公司估值的计算就容易了。
无杠杆公司价值=FCFF0（1+g）/（ρu-g）
式中，FCFF0是当期公司的经营现金流，ρu是无杠杆股权成本，而g是预期增长率。在更一般的情形下，我们估值公司时采用我们认为适合于公司的任何增长率假设。
然后，我们考虑通过借入一定数额资金而产生的利息税收节省额的现值。这项税收优惠是公司税率的函数，并以负债成本贴现，以反映现金流的风险。如果把税收节省视为永续的利益，那么其价值的计算如下：
税收优惠的价值=税率×负债成本×负债/负债成本=税率×负债
对于陷入困境的公司，如果公司有着大量的营业亏损，并且在可预见的将来不会获得税收优惠的好处，那么这个价值就会受到打压。
第三步是评估一定水平的负债对公司违约风险和预期破产成本的影响。这要求我们评估带有额外负债的违约概率，以及直接间接破产成本。如果πa是额外负债后的违约概率，而BC则是破产成本的现值，预期破产成本的现值可以评估如下：
预期破产成本的现值=破产概率×破产成本现值=πaBC
我们可以采用前一节阐述的方法，求得破产概率的评估值。我们还可以考虑下述两项的差额：公司作为持续经营实体的价值；作为破产成本的困境甩卖价值。如果预期现金流的现值是50亿美元（持续经营的价值），而困境甩卖收入预期只有其40亿美元股权面值的25%，那么破产成本就是40亿美元。
预期破产成本=5000000000-0.25×4000000000=4000000000（美元）
同样，对于陷入困境的公司，预期破产成本的现值可能是一个很大的数字。较低税收优惠和大额破产成本的结合势必减少公司价值。阿尔梅达和菲利庞（2005）提出了一个变形的调整现值模型。他们认为传统的困境成本的计量方式低估了其量级，因为没有被考虑进困境成本常常是系统性（市场和经济驱动）这个问题。为了反映这个系统风险，他们提出了调整困境成本的两个方法。在第一种方法中，他们从公司债券收益溢价中获取违约概率，就像我们前面做的一样。在第二个方法里，他们从有关困境概率和资产定价模型的历史数据里获取风险调整值。他们的结论是预期破产成本很大，对价值的影响也很大。
例12-7 估值拉斯维加斯金沙：调整的现值
为了以一个调整过的现值为基础，估值拉斯维加斯金沙公司，我们首先需要把该公司作为一个无杠杆实体进行估值。为此，我们可以把无杠杆股权成本作为资本成本：
拉斯维加斯金沙的无杠杆贝塔=1.1535
我们采用3%的无风险利率和6%的市场风险溢价：
拉斯维加斯金沙无杠杆股权成本=3%+1.1535×6%=9.92%
我们把这个股权成本当做资本成本，贴现公司预期自由现金流（见表12-8）。表12-12概述了以无杠杆股权成本贴现的现金流现值。（注意：其终值没有变化。我们将继续假设该公司在十年后，在其投资上只能赚取资本成本。）
经营资产的无杠杆价值是70.03亿美元。我们可以加进这个价值的是预期的负债税收优惠——计算的方法是用未偿负债（75.65亿美元）乘上38%。[15]为了评估破产成本，我们考虑把70.03亿美元持续经营价值和27.69亿美元困境甩卖价值（早先评估）的差额视为破产成本。用这个乘上前面评估的破产概率（76.66%），得到预期的破产成本：
拉斯维加斯金沙资产的调整现值
=无杠杆公司价值+税收优惠现值-预期破产成本
=7003000000+0.38×7565000000-0.7666×（7003000000-2769000000）
=6632000000（美元）
加回现金和易于变现的证券，减去负债，得到该公司的股权价值：
股权价值=拉斯维加斯金沙资产的调整现值+现金和易于变现证券-负债市场价值
=6632000000+3040000000-7565000000=2107000000（美元）
每股价值=2107000000/355270000=3.28（美元）
这个价值已经是做过困境调整的，可与4.25美元的市场价格进行比较。
12.4.4.3 作为期权的股权
大多数上市公司的股权有两个特征。第一，股权投资者经营公司，并且可以在任何时候决定变现公司资产，付清其他要求权持有人。第二，在一些非上市公司和几乎所有上市公司里，股权投资者的责任限制在其投入这些公司的资金上。清偿选择权和有限责任的结合给予股权一个看涨期权的特征。在大量负债和破产风险很大的公司里，股权的期权价值可能超过股权贴现现金流的价值。
1.作为期权的股权收益
公司股权是一种剩余索偿权。换言之，在其他财务索偿权持有人（负债和优先股）得到满足后，股权持有人只是对剩余的现金流拥有索偿权。如果一家公司被破产清偿了，这个原则也适用。股权投资者得到的现金是在所有未偿负债和其财务索偿权予以支付后的所剩现金。出于有限责任之故，如果公司价值低于未偿负债价值，股权投资者失去的不会多于其在公司的投资。因此，股权投资者在清偿时的收益可以表述如下：
式中：V是公司清偿价值；D是未偿负债和其他外部索偿权的面值。
因此，股权可被视为一份看涨期权。行使期权要求的条件是，公司被清偿且其负债面值（相当于行权价格）得以支付。公司是标的资产，该期权在负债到期时失效。其收益表述于图12-2。
图 12-2 作为公司期权的股权收益
例12-8 估值作为期权的股权
假设我们正在估值一家其资产的当期估值为1亿美元的公司；这块资产价值的标准差是40%。其负债的面值是8000万美元（是还有十年到期的零息票负债）。十年国债的利率是10%。我们可以把该股权当做公司的期权进行估值，把下述作为期权定价模型的估值要素。
●标的资产价值=S=公司价值=100000000美元
●行权价格=K=未偿负债面值=80000000美元
●期权寿命=t=零息票负债期限=10年
●标的资产价值方差=σ2=公司价值方差=0.16
●无风险利率=r=相对于期权寿命的国债利率=10%
基于这些估值要素，布莱克-斯科尔斯模型为这份看涨期权提供了如下数值：
d1=1.5994 N（d1）=0.9451
d2=0.3345 N（d2）=0.6310
看涨期权价值=100000000×0.9451-80×e-0.10×10×0.6310
=75940000（美元）
由于看涨期权价值代表了股权价值，而公司价值是1亿美元，所以，未偿负债的评估值可以计算如下：
未偿负债价值=100000000-75940000=24060000（美元）
由于该笔负债是十年期零息票债券，该债券的市场利率可以计算如下：
因此，该债券的违约溢价应该是2.77%（12.77%-10%）。
2.视股权为期权的含义
当公司的股权带有看涨期权的特征时，我们需要改变我们对其价值及其价值决定要素的看法。本节分析这些看法对公司股权投资者和债券持有人的一些潜在含义。
（1）股权何时值钱
在现金流贴现估值中，我们认为，如果我们拥有的（公司价值）少于我们所欠的，那么股权就一文不名。视股权为看涨期权的第一个含义是，即便是公司价值跌到远在未偿负债面值之下时，股权仍有价值。虽然该公司被投资者、会计师和分析师视为陷入了财务困境，但其股权并非毫无价值。很差的非在值看涨期权仍然掌握着价值，因为在该期权剩余的期限内，仍然存在着标的资产价值回弹至行权价格以上的可能性。类似地，股权仍然享有价值的原因是该期权的时间溢价（直到其债券到期偿付前的时间），以及在债券到期前资产价值会提升到高于该债券价值的可能性。
例12-9 公司价值与股权价值
回顾一下前面的例子，假设该公司的价值滑落到5000万美元，低于未偿负债的面值（8000万美元）。还假设其他的估值要素的数据保存不变。股权作为看涨期权的参数表述如下：
●标的资产价值=S=公司价值=50000000美元
●行权价格=K=未偿负债面值=80000000美元
●期权寿命=t=零息票负债期限=10年
●标的资产价值方差=σ2=公司价值方差=0.16
●无风险利率=r=相对于期权寿命的国债利率=10%
基于这些估值要素，布莱克-斯科尔斯模型为这份看涨期权提供了如下数值：
d1=1.0515 N（d1）=0.8534
d2=-0.2135 N（d2）=0.4155
看涨期权（股权）价值=50000000×0.8534-80000000×e-0.10×10×0.4155
=30440000（美元）
债券价值=50000000-30440000=19560000（美元）
如同我们所见，因为股权的期权特征，该公司的股权仍有价值。事实上，在这个例子里，股权还是持续具有价值，即便该公司的价值滑落到1000万美元或更低也是如此。
（2）增加风险可增加股权价值
在传统现金流贴现估值里，更高的风险几乎总是意味着股权投资者的更低价值。当股权具有了看涨期权的特征时，我们不应该指望这个关系会持续有效。在一个陷入困境的公司里，当我们是股权投资人时，风险是我们的盟友。从根本上说，在公司价值起伏的时候，我们能得到的很多，失去的极少。
例12-10 股权价值及其波动性
让我们回顾一下前两个例子中的估值。股权价值是公司估值方差的函数——我们假设是40%。如果我们改变这个方差，其他的条件都不变，其股权价值也会变化（见图12-3）。
图 12-3 变化的股权价值
注意：如果我们使公司价值不变的话，随着标准差的增加，股权价值会增加。由于标准差的增加，负债利率也会增加。
3.违约概率和违约溢价
期权定价模型更有趣的产出之一是，我们可以为公司获取风险中性的违约概率。在布莱克-斯科尔斯模型里，我们可以从N（d2）评估这个数值——S＞K的风险中性概率。在这个模型里，这是公司资产价值高于其负债面值的概率：
违约的风险中性概率=1-N（d2）
另外，负债的利率允许我们评估一个加到债券的合宜的风险溢价。
你可以看到这样一个可能性，即把这个模型应用于银行贷款组合，求取一个违约概率，并衡量你是否收取了一个足够高的负债利率。事实上，有利用相当复杂的期权定价模型为公司评估这两种价值的商业服务。
例12-11 违约概率和违约溢价
现在我们来评估作为N（d2）的违约概率。违约溢价是公司负债利率和作为方差函数的无风险利率之间的差额。这些数值见图12-4。
注意：当公司价值增加时，违约概率攀升得很快，违约溢价紧跟其后。
图 12-4 违约概率和违约溢价
4.估值作为期权的股权价值
迄今为止，我们应用期权定价模型估值股权的几个例子，都包括了几个简单化的假设：
●公司仅有两个索取权持有人——负债和股权。
●有问题的负债仅是未偿负债，并且它可以按面值偿付。
●该负债是零息票负债，没有其他的特征（可转换和赎回条款等）。
●公司价值及其方差是可以评估的。
所做的每一个假设都是有其理由的。首先，把索偿权持有人限制在负债和股权里，我们使得相关问题更容易追查。引入其他的索偿权持有人很难（虽然不是不可能）求取结果。其次，通过假设仅有在到期前的任何时候可以面值兑付的零息票负债，我们就把这种负债的特征与标准期权的行权价格特征更紧密地关联起来。再次，如果负债是息票债务，或是一个以上的未偿负债，如果它们没有足够的现金流满足其息票义务的话，股权投资者会在这些较早的付息日行权（变现公司）。
最后，即便知道公司价值及其方差使得期权定价有可能，它也带来了一个有趣的问题，即在股权估值中期权定价的有用性问题。如果公司的债券是公开交易的话，那么可以在公司价值里减去负债的市场价值，更加直接地得到其股权价值。但是，期权定价方法有其优势。特别是，当一家公司的负债不是公开交易的，期权定价理论可以评估公司的股权价值。即便负债是公开交易的，债券可能定价不当，在评估负债和股权价值时，期权定价框架是比较有用的。最后，这种方式把负债和股权的价值联系在一起，使我们洞悉了公司行为的再分配效应。
5.估值作为期权的股权所需的估值要素
由于大多数公司的结构都会比刚刚推导出的间接框架（仅有一个零息票的未偿债券）要复杂，为了采用这个估值模型，我们必须做一些调整。
（1）公司价值
我们可以通过四种方式获得价值的估值。在第一种方式里，假设所有负债和股权都是公开交易的，为获取公司价值，我们累计未偿负债和股权的市场价值。然后，期权定价模型在负债和股权之间分配公司价值。这种方式虽然简单，但存在着内在的不一致性。我们开始于负债和股权的一部分市场价值，采用期权定价模型，最后它们得到是完全不同的价值。
在第二个方式里，我们通过以资本成本贴现预期现金流，评估公司资产的市场价值。我们需要记住的一个问题是，期权定价模型的公司价值应该是公司的变现价值。这个价值可能低于整体公司价值（它包括预期未来投资的价值），并且它也可能会因清偿变现的成本而减少。如果我们采用现金流贴现模型评估公司价值，这意味着仅仅考虑是现有资产。这种方式的最大问题是，财务困境会影响营业利润，因而，我们采用当期营业利润获取的价值会很低。
在第三种方式中，我们评估收入倍数，方法是审视一下同业健康公司的相关指标，并用这个倍数乘上被估值公司的收入。我们实际上在这里假设，在公司倒闭清偿的时候，潜在的购买者会支付这个价值。
对于资产可以分离并单独交易的公司，我们采用第四种方式。这里，我们分别累计各资产的市场价值，最终求得公司的价值。例如，我们可以估值具有五块地产的已陷入困境的房地产公司，分别估值每块地产，然后加总得出公司价值。
（2）公司价值方差
如果公司的股票和债券都是公开交易的，我们可以直接获得公司价值的方差。把σe2定义为公司股票价格方差，把σd2定义为公司债券价格方差，把we定义为股权市值权重，wd定义为负债市场价值权重。我们可以把公司价值方差表述如下：[16]
这里ρed是股票价格和债券价格的关联系数。若公司债券不是公开交易的，我们可以把类似级别的债券方差当做σd2的评估值，并把类似级别债券和公司股票的相关系数作为ρed的评估值。
当公司陷入财务困境时，这种方式会产生误导性结果，因为无论是其股票价格，还是债券价格，都变得起伏不定了。一个能常常带来更可靠评估值的替代方法是，采用板块里其他公司的公司价值平均方差。所以，深陷困境的钢铁公司的股权价值的评估，可以采用所有同业上市公司价值的平均方差。
（3）负债期限
多数公司的账上都有负债，多数负债都是带有息票的。由于期权定价模型允许一个到期日的输入值，我们必须把这些多份的债券和不同的息票支付条件，转换为一个等价的息票债券。
●同时考虑息票支付条件和债券到期日的解决方法是，评估每份负债的期限，并计算每份负债期限的面值加权平均数。然后，把这种价值加权的期限视为期权到期时间的指标。
●一个近似值是把负债面值加权期限转换成期权定价模型里的零息票债券的期限。
（4）负债面值
当困境公司有多份未偿负债，如何确定负债面值时，我们有三种选择：
●我们可以加总公司所有负债的到期本金，视其为公司已经发行的假设零息票债券的面值。这种方法的局限是，它会少计公司将在负债期内真正支付的金额，因为在此期间存在着息票兑付和利息付款。
●在另一个极端，可以把这些负债的利息和息票要求支付的款项，都加到本金支付款项上，得到负债的累计面值。由于近年的利息和本金支付额，必须等到其具体到期时才发生，所以当这样做时，我们混淆了不同时点上的现金流。但这是最简单的处理中间到期利息支付的方法。
●我们可以考虑仅用负债的到期本金作为该负债的面值。每年支付的利息（确定为公司价值的一个百分比），可以在期权定价模型里取代红利收益的地位。实际上，公司存在的每一年，我们会看到公司的价值会以负债预期支付额的幅度降低。
例12-12 估值作为期权的股权：拉斯维加斯金沙，2008年1月
早先，我们把拉斯维加斯金沙公司作为一家持续经营实体进行了估值。我们为公司的经营资产所评估的价值是97.93亿美元。对于这项价值的标准差，我们采用了赌博行业的均值31%——采用2007~2008年的回报率计算。该公司有未偿负债，面值将近104.7亿美元，而市场价值为75.7亿美元。负债很多都是长期负债，加权平均期限是5.4年。[17]简言之，期权定价模型的估值要素的数值如下：
●标的资产价值=S=公司价值=9793000000美元
●行权价格=K=未偿负债面值=10470000000美元
●期权寿命=t=零息票负债期限=5.4年
●标的资产价值方差=σ2=公司价值方差=0.312
●无风险利率=r=相对于期权寿命的国债利率=2.5%
基于这些估值要素，我们为这份看涨期权评估了如下数值：
d1=0.4548 N（d1）=0.6754
d2=-0.2655 N（d2）=0.3953
看涨期权（股权）价值=9793×0.6754-10470×e-0.025×5.4×0.3953
=2998000000（美元）
如果我们把这个作为股权价值处理，那么由此产生的每股价值是4.67美元——高于我们早先评估的在持续经营下的每股1.92美元的评估值，而4.2美元的实际股票价格接近这个价格。
除了能给我们带来拉斯维加斯金沙公司的股权价值外，期权定价的构造技术还能为我们带来对这种股权价值动因的深刻理解。公司试图控制成本和提升利润率的做法，无疑是很重要的，但决定股权价值最重要的两个变量是负债的久期和公司价值的方差。任何增加（或减少）负债久期的行为都会对股权价值有一个正面（或负面）的影响。因此，在做本分析时，正在进行的债务重组谈判的结果，会对该公司的价值产生巨大影响。
12.4.4.4 相对估值
实践中的估值多数是相对估值，对困境公司的估值也是如此。特别是，采用倍数和一组可比公司对公司进行估值。这里有一个很明显的问题：困境的影响是否能在相对估值中得到反映？如果不能，那么如何做更好呢？
1.相对估值中的困境
不太清楚公司困境是如何计入相对估值的评估中的。看看相对估值最通常的做法。选择一组我们相信能够与所估值的公司进行比较的公司。通常，我们挑选的公司是与我们估值的公司处在同一个业务领域。然后，我们把价格标准化，方法是计算倍数——市盈率、市账率、企业价值与销售额之比或企业价值与息税折旧摊销前利润之比。最后，分析如何基于这些倍数和可比公司度量我们的公司。虽然这种方法是经过时间考验的，可用于估值困境公司，但困境公司通常都有下述独特的问题。
●与健康公司相比，困境公司估值用得较多的是收入倍数和息税折旧摊销前利润倍数。原因是很实际的，因为困境公司通常无法计算诸如市盈率和市账率等倍数。因而，分析师的眼光就会沿利润表科目上寻，设法找到一个有正号的数字。对于做了很多基础设施投资的公司，其折旧和摊销会吃掉其营业利润的很大一块，还会有大量的利息支出，所以，其息税折旧摊销前利润会是正数，但净利润是负数。对于有些公司，甚至息税折旧摊销前利润也是负数，收入倍数是仅有能产生正数值的倍数。
●在把困境公司的倍数与行业均值进行比较时，意识到困境的分析师往往是比较主观的。例如，假设电信公司平均交易的收入倍数是2，他们会把被分析公司交易的收入倍数定为1.25，还假设该公司的违约风险比平均的电信公司高很多。我们可能会得出结论，认为这个公司没有被低估，因为其潜在的违约风险很大，即便其交易价格在平均价之下打了很大的折扣也是如此。主观调整的危害是显而易见的。为了把这些臭名昭著的误估拒之门外，分析师必须找到一种方法纠正他们对公司先入为主的偏见。
2.依据困境调整的相对估值
有一个能够把相对估值法调整到适合估值困境公司的方式吗？我们确信有，与在贴现现金流一节中所阐述那些相比，这些调整的结果通常更像是一个近似值。我们考虑两种方法来把公司困境状态明确地计入相对估值中。在第一个方法中，把一家困境公司的估值与其他困境公司的估值相比较。在第二个方法中，我们采用健康公司为可比公司，但会寻找一种方法来调整我们所估值公司正面临的困境。
（1）选择可比公司
为了估值困境公司，我们可以找到一组做相同业务的困境公司，看看市场乐意为它们支付的价格是多少。例如，在估值一家陷入困境的电信公司时，我们可以看看其他陷入困境的电信公司交易的企业价值与销售额（或账面资本）倍数。虽然这种方法有用，但它工作的有效条件是，同期有大量的同板块公司都陷入了财务困境。另外，通过把公司进行陷入困境或没陷入困境的归类，我们有把陷入不同困境的公司捆绑在一起的风险。
拓展这种方法的一种方式是，检索整个市场的困境公司，而不仅仅是那家公司所处的板块。这样可得到更大的样本。但是，这样可能会有一个不利之处，一个陷入困境的杂货店的处境要好于（就创造困境甩卖收入而言）一家陷入困境的技术公司。
例12-13 选择陷入困境的可比公司
为了估值拉斯维加斯金沙公司，我们考虑的可比公司仅是那些财务杠杆高的公司（市场的负债资本比率超过60%）。我们的目标是获得一个很有可能陷入困境的那些赌博公司的样本。我们采用最近12个月的息税折旧摊销前利润，并计算企业价值——把股权的市场价值加到负债的面值上，再减去现金。表12-13概述了这些公司由此产生的企业价值与息税折旧摊销前利润之比。
这些公司（不包括拉斯维加斯金沙）的企业价值与息税折旧摊销前利润之比的平均倍数是6.6。相对于这一组的其他公司而言，拉斯维加斯金沙公司看起来是明显高估了。但我们这里要提个醒，负债面值的使用无疑使得企业价值多算了，对于困境程度高的公司更是如此。例如，采用75.7亿美元负债的评估市场价值（而不是面值）会把拉斯维加斯金沙的倍数降到大约息税折旧摊销前利润的10倍。
（2）明确地考虑陷入困境的可能性
我们为现金流贴现估值提出的修改建议之一是，要对下述三项有一个明确的评估：违约风险；作为持续经营价值的加权评估值的公司价值；困境甩卖价值。对于一个处在大多数都是健康公司的板块中的困境公司，这种方式提供了可能。我们可以采用可比公司来评估困境公司的价值，并将其视为一个持续经营的价值。例如，如果板块里的健康公司是以收入的2倍这一价格进行交易的，我们会用2乘上这家公司的收入，得到的是一个持续经营的价值。然后，我们可以下述方式评估公司价值：
公司价值=持续经营的相对价值×（1-π困境）+困境甩卖价值×π困境
困境概率和困境甩卖价值可按前一节阐述的那样评估。对多数都是健康公司的板块里的困境公司进行估值时，这种方法最有意义，因为前两种方法在这里没法用。
在某些情形下，为了得到持续经营的价值，我们不得不采用收入和营业利润的预测值。若当期的收入和营业利润受到困境的负面影响，尤其如此。
例12-14 远期倍数和困境
看看表12-7上所做的拉斯维加斯金沙公司收入和息税前利润的预测。虽然该公司当期没有创造大额的营业利润，但是，我们预期其利润率和收入增幅会有改善，能在第十年带来16.96亿美元的预期营业利润。在这个价值上再加上5.72亿美元的折旧费用，得到22.68亿美元的预期息税折旧摊销前利润。[18]采用一个平均的8.25的企业价值与息税折旧摊销前利润的倍数（健康赌博公司的交易倍数），我们可以评估一个其在第十年的预期企业价值[19]：
第十年的企业预期价值
=息税折旧摊销前利润10×企业价值/息税折旧摊销前利润健康赌博公司当期值
=2268000000×8.25=18711000000（美元）
我们可以通过用拉斯维加斯金沙的累计资本成本（早先计算的是2.4433）贴现其评估值的方式，评估其现值：
企业今天的价值=18711000000/2.4433=7658000000（美元）
当然，这是基于一种假设之上，即拉斯维加斯金沙会成为健康的公司。采用前面评估的生存概率（23.34%）和困境概率（76.55%），我们可以估值金沙公司今天的经营资产：
评估的企业价值=持续经营价值（π持续经营）+困境甩卖价值（1-π持续经营）
=2268000000×8.25×18711000000（美元）
注意：27.69亿美元的困境甩卖价值是在前面所做的评估值。通过忽略下一个十年的现金流，我们也少计了很多作为持续经营的金沙公司的价值。[20]
股权价值=企业价值+现金和易于变现证券-负债
=3910000000+3040000000-7565000000=-605000000（美元）
实际上，每股价值会是0。仅在采用较低的困境概率（来自于其债券等级评估）时，我们才可以得到一个正数的股权价值。
[1]Kahl, M.，2001，“Financial Ds s a Selection Mechanism，”SSRN g r.
[2]对于间接破产成本的理论研究，见Opler，T. and S. Titman，1994， “Financial Distress and Corporate Performance，”Journal of Finance，49，pp. 1015-1040. 对于在一个现实世界里评估这些困境成本会有多大，见Andrade，G. and S. Kaplan，1998，“How Costly Is Financial （Not Economic）Distress？Evidence from Highly Leveraged Transactions That Become Distressed，”Journal of Finance，53，pp. 1443-1493. 他们研究了随后出现困境的高杠杆交易，结论是这些成本的规模占据公司价值的10%~23%。
[3]一个确定性等价现金流是采用一个无风险的等价现金流，取代一个不确定性现金流。因此，一笔1.25亿美元的预期现金流可被一笔1亿美元无风险现金流所取代。现金流的不确定性越大，向下调整的幅度就越大。
[4]进入第三年的生存概率=（1-0.10）×（1-0.10）=0.81。
[5]更多的自下而上贝塔的资料，见Damodaran, A.，2002，Applied Corporate Finance, John Wy d Sons.
[6]这种杠杆调整有其他方式。例如，有些分析师钟情于一种更完整的形式，允许负债携带系统风险并有一个贝塔。另一些分析师则偏好取消税收调整。而还有一些分析师则喜欢其他方式，为困境风险调整贝塔。
[7]发生困境概率很高的公司所发行债券的到期收益会非常高，因为它们是建立在该债券所承诺的现金流，而不是预期现金流之上的。
[8]Altman，E. I. ，1968，“Financial Ratios，Discriminant Analysis and the Prediction of Corporate Bankruptcy，”Journalof Finance. 对于更新版的Z 评分模型及其与违约概率的关系，见Altman，E. I. ，1993，Corporate Financial Distress and Bankruptcy，2nd ed. ，John Wiley＆Sons，New York.
[9]这看起来像一个倍数回归。实际上，几率是一个更复杂的内置限制的回归版本，确保概率不超过1或变成负数。
[10]现金燃烧率=现金余额/息税折旧摊销前利润。用一个负的息税折旧摊销前利润，得到的是一个衡量公司需要花多长时间能用完其现金余额的指标。
[11]Altman，E. I. ，2008，Altman High-Yield Bond Default and Return Report，Citi Research.
[12]该公司报告的1.63亿美元营业利润是为了处置4600万美元资产而做了减值拨备后的数字。调整后的营业利润是2.09亿美元。
[13]在2009年1月前金沙集团已经在新项目上投了30亿美元，但还未开始运营。
[14]由于资本成本是随时间变化的，我们必须计算一个累计成本：利润第七年的资本成本=1.09885×1.979×1.0950=1.9261。
[15]我们采用负债的市场价值来捕捉如果该公司债务违约将会失去税收优惠利益的可能性。
[16]先前，我们采用了8.1年的负债加权平均到期日，计算负债的市场价值。负债的久期要比负债的期限少，因为在早先几年的利息已经支付过了。
[17]为了计算负债的市场价值，我们在前面为这个负债采用了8.3年的加权平均到期日。负债的久期要比负债的期限少，因为前几年的利息已经支付。
[18]虽然我们没有明确地预测折旧值，但当期年度的折旧额是5.09亿美元，并且，在第十年已投的账面资本比今天的账面资本高出约23%。我们用同样的比例增加折旧。
[19]我们把市场负债率低于50%的赌博公司定义为健康公司。
[20]我们可以总是加回现金流现值，但如果我们这样做，我们就混淆了内生性估值和相对估值。
