第5章　实物期权估值 - 附录5A　期权及其定价的基础 - 《估值：难点、解决方案及相关案例》

附录5A　期权及其定价的基础

一份期权为其持有者提供了以一个固定价格（叫做敲定价格或行权价格），在到期日或到期前，买或卖一定数量标的资产的权利。由于它是一种权利而非义务，其持有人可以选择不行使这种权利，让期权过期失效。存在两种期权：看涨期权和看跌期权。

5A.1　期权收益

一份看涨期权给予期权的购买者在该期权到期前的任何时间，以一个固定价格（叫做敲定价格或行权价格）购买标的资产的权利，该购买者为得到这个权利支付一定的费用。如果在到期时该资产的价值低于敲定价格，该期权就不会被行使且无价值地失效了。另一方面，如果标的资产的价值高于行权价格，该期权就会被行使——该期权的购买者会以行权价格购买标的资产，而资产价值和行权价格的差额就是该项投资的毛利润。这项投资的净利润是毛利润与最初购买这份看涨期权价格的差额。一个收益图可以解读到期时一份期权的现金收益。对于一份看涨期权，如果其标的资产价值低于敲定价格，其净收益是负数（和等于购买该期权所付价格）。如果其标的资产价格高于其敲定价格，总收益是标的资产价值和敲定价格的差额，净收益是总收益和看涨期权价格的差额（见图5A-1）。

图　5A-1　看涨期权收益

一份看跌期权给予购买者在该期权到期前的任何时间，以一个固定价格（叫做敲定价格或行权价格）出售标的资产的权利，购买者为得到这个权利支付一定的费用。如果在到期时该资产的价值高于敲定价格，该期权就不会被行使且无价值地失效了。另一方面，如果标的资产的价值低于行权价格，该期权就会被行使——该期权的购买者会以行权价格出售股票，把这项资产的市场价值和行权价格的差额，作为该项投资的毛利润。同样，减去最初购买这份看涨期权的成本，得到这项投资的净利润。对于一份看跌期权，如果其标的资产价值高于敲定价格，其净收益是负数（和等于购买该期权所付价格）。如果其标的资产价格低于其敲定价格，总收益是标的资产价值和敲定价格的差额（见图5A-2）。

图　5A-2　看跌期权收益图

有一个需要最后澄清的差异。期权通常被分为美国期权和欧洲期权。两者最主要的区别是美国期权可以在到期前的任何时候进行行权，而欧洲期权只能在到期日行权。和类似欧洲的期权相比，可提前行使的美国期权更有价值，这也使得它们更难于估值。在采用为欧洲期权设计的模型估值美国期权时，有一个补偿因素使得我们可以这样做。在多数情况下，与期权剩余期限相关的时间和交易溢价，使得提前行权成为一种次优选择。换言之，和直接行权相比，在值期权的持有人把这类期权卖给其他人，比直接行权所得的价值更多。^[1]

[1]虽然提前行权一般不是最佳做法，但至少有两个例外。一个是标的资产支付大额红利的情形，从而降低了该资产及其看涨期权的价值。在这种情形下，如果该期权的时间溢价低于资产价值的预期跌幅（由于红利支付之故），看涨期权可在除息日前行权。另一种例外见于利率高企时，投资者既持有标的资产，也握有一份有关该资产的很深的在值期权。在这个情形下，该看跌期权的时间溢价可能低于来自下述两项的潜在收益：提前行使该看跌期权；在该行权价格上所赚利息。

5A.2　期权价值的决定要素

一份期权的价值取决于一组与标的资产和金融市场相关的变量。

●标的资产的当期价值。期权是一项从其标的资产获取价值的资产。因此，标的资产的价值变化影响该资产期权的价值。因为看涨期权提供了以一个固定价格购买标的资产的权利，所以，标的资产价格的增加会增加看涨期权的价值。另一方面，标的资产价值的增加会降低看跌期权的价值。

●标的资产价值的方差。一份期权的购买者获得以某个固定价格购买或出售标的资产的权利。标的资产价值的方差越大，该期权的价值就越高。无论是看涨期权还是看跌期权均是如此。一项风险指标（方差）的上升能提升价值，虽然听起来与直觉相悖，但期权与其他的证券不同，因为期权的购买者所失价值不会大于其所购期权的价格。事实上，它们可以从大幅的价格波动中获取相当的回报。

●基于标的资产支付的红利。在期权的有效期内，如果其标的资产支付了红利，我们会预期标的资产的价值将下降。因此，该资产的看涨期权的价值是预期红利支付额的递减函数，而该资产的看跌期权的价值是预期红利支付额的递增函数。对于看涨期权，看待红利支付的一个更直觉的方法是，将其视为对在值期权延迟行权的成本。为了弄清缘由，考虑一种交易股票的期权。一旦一种看涨期权处在在值状态，即该期权持有人通过行使该期权就有毛利，行使该看涨期权会给其持有人带来股票和该股票未来时期的红利。对该期权没有行权意味着失去这些红利。

●期权的敲定价格。用于描述期权的一个关键特征的是敲定价格。在看涨期权的情形下，持有人获得了以某个固定价格购买的权利，随着敲定价格的上升，看涨期权的价值降低。在看跌期权的情形下，持有人获得了以某个固定价格出售的权利，随着敲定价格的上升，看跌期权的价值增加。

●期权的到期时间。无论是看涨期权还是看跌期权，都会由于到期时间的增加而变得更有价值。这是因为距离到期的时间越长，标的资产价值的变动有了更多的时间——增加了两类期权的价值。另外，在持有人必须在到期时支付一个固定价格的看涨期权的情形下，随着该期权有效期的上升，固定价格的现值降低，这增加了看涨期权的价值。

●对应于期权期限的无风险利率。因为期权的购买者在一开始就支付了该期权的价格，所以，这里有一个机会成本。这个成本取决于利率水平和该期权的到期时间。在计算行权价格的现值时，无风险利率也会进入期权的估值，因为行权价格只是在看涨（看跌）期权到期时才会被支付（收到）。利率的提升会增加看涨期权的价值，降低看跌期权的价值。

表5A-1概述了相关变量及其对看涨期权和看跌期权价值的预期影响。

5A.3　期权定价模型

在1972年，布莱克-斯科尔斯发表了其开创性的论文，为红利保护型欧洲期权的估值提供了一个模型。自那以来，期权定价模型理论取得了长足的进步。为了获取其最后的公式，布莱克和斯科尔斯采用了一个“可复制组合”——包含与被估值期权具有相同现金流的标的资产和无风险资产的组合。虽然其推导过程在数学上很复杂，但有一个更简单的二项式模型，可基于相同的逻辑估值期权。

5A.3.1　二项式模型

二项式期权定价模型是建立在一个资产定价的简单形式上，即资产价格会在任何时间段走向两种可能价格中的任意一种。图5A-3展示了遵循二项式法的股票定价的一般形式。

在图5A-3中，S是当期股票价格，在任何时间段里，该价格以概率p移向Su，以1-p概率移向Sd。

制作可复制组合的目标是，采用一个无风险借入/贷出资金与标的资产的组合，以创造一个与被估值期权相同的现金流。这里应用套利原则，期权的价值必须等于复制组合的价值。在前述的一般列式里——股票价格在任何时间里，既可以走向Su也可以走向Sd，敲定价格为K的看涨期权的复制组合，涉及借入B美元并购得Δ的标的资产，这里：

Δ=所购标的资产单位数量=（C_u-C_d）/（Su-Sd）式中：

图　5A-3　二元定价路径的一般列式

C_u=如果敲定价格是Su时，看涨期权的价值

C_d=如果敲定价格是Sd时，看涨期权的价值

在一个多阶段的二项式程序里，估值必须迭代进行；也就是，始于最后时段，在时序上倒进，直至当前的时点。在每一步都按该期权复制组合并予以估值，为那个时期的期权提供价值。来自二项式期权定价模型的最后产出是该期权复制组合价值的表述，包含标的资产的Δ份额（期权变化率）和无风险借款/放款：

看涨期权价值=标的资产的当期价值×期权变化率-复制期权所需借入看看一个简单的例子。假设目标是估值一个具有下述特征的看涨期权：敲定价格为50、有效期两个月、当期价格为50并符合二项式程序的标的资产。

现在假设利率是11%。另定义下述要素：

Δ=在复制组合里的股份数量

B=在复制组合里借入的美元价值

目标是把股票的-股份和借入B的美元价值加总在一起，以复制来自敲定价格为50美元看涨期权的现金流。这可以用迭代的方式做，从最后一个阶段开始，通过二项式倒推。

第一步：从最后的时段开始并倒推：

因此，如果在t=1时，该股票价格是70美元，那么借入45美元并购入一股该股股票，给你带来的现金流会与购入一份这种看涨期权是一样的。如果该股股票价格是70美元，那么该看涨期权的价值在t=1时是：

看涨期权价值=复制头寸的价值=70Δ-B=70-45=25

考虑该二项式在t=1时的另一分支：

如果在t=1时，该股票价格是35美元，那么该看涨期权的价值为零。

步骤二：倒回至前一个时段，做一个能够提供该期权现金流的复制组合。

换言之，借入22.5美元并购入5/7股股票所提供的现金流与敲定价格为50美元的看涨期权产生的现金流一样。因而，该看涨期权的价值与这个头寸的价值一样：

看涨期权价值=复制组合价值=5/7×当期股价-22.50=13.20

这种二项式模型使我们能洞悉期权价值的决定要素。期权的价值不取决于标的资产的预期价格，而是在于其当期价格——它当然也反映了对将来的预期。这是一个直接的套利结果。如果该期权的价值偏离了复制组合的价值，投资者可以做一个套利头寸——即无需投资、无风险涉入且提供正回报。例如，如果复制该看涨期权的组合的价格比市场上的看涨期权的高，投资者会购买该看涨期权，卖掉这个复制组合，而这个差额是稳赚的利润。来自这两个头寸的现金流相冲抵，导致下一个时段不会有现金流。如果期权到期日可以延长，那么该期权的价值会增加，因为此时该期权价格的波动性（u和d）和利率都会上升。

5A.3.2　布莱克-斯科尔斯模型

二项式模型是资产价格运动的时间离散模型，包括一个价格运动的时间段落（t）。当时间段落被缩短，那么，极限分布（在t趋近0时）会采取两种方式中的一种。如果价格变动缩小（在t趋近0时）极限分布是正态分布，定价过程是连续的。如果价格变动仍然大（在t趋近0时）极限分布是泊松分布，会出现价格跳跃的分布。布莱克-斯科尔斯模型适用于极限分布属正态分布的情形。^[1]而且，它明确假设其定价过程是连续的。

1.模型

原始的布莱克-斯科尔斯模型是为估值欧洲期权而设计的（属红利保护型）。因此，无论是提前行权的可能还是红利的支付，都不会影响其模型的期权价值。布莱克-斯科尔斯模型中的看涨期权价值，可以表述为下述变量的函数：

S=标的资产的当期价值

K=期权的敲定价格

t=期权的有效期限

r=对应于期权期限的无风险利率

σ²=标的资产的价值方差

该模型可以表述如下：

看涨期权的价值=SN（d₁）-Ke^-rt_N（d₂）

式中：

采用布莱克-斯科尔斯模型估值期权的流程涉及下述步骤。

●步骤一，采用布莱克-斯科尔斯模型的估值要素估算d₁和d₂。

●步骤二，评估与这些标准的正态变量相关的累积正态分布函数，N（d₁）和N（d₂）。

●步骤三，评估行权价格的现值，采用现值公式的连续时间版本：

行权价格的现值=K_e^-rt

●步骤四，由布莱克-斯科尔斯模型评估的看涨期权价值。

布莱克-斯科尔斯模型的价值决定要素和二项式模型的决定要素是一样的——股票价格的当期价值、股票价格的可变性、期权的有效期限、敲定价格和无风险利率。用于二项式估值的复制组合原则同样是布莱克-斯科尔斯模型的基础。事实上，复制组合根植于布莱克-斯科尔斯模型：

看涨期权的价值=SN（d₁）　　　-　　　Ke^-rtN（d₂）

　　　　　　　购N（d₁）份股票　　借入这个数量资金

创建复制组合所需的股份数量N（d₁）被称为期权变化率。这个复制组合是自融资的，且其价值在期权寿命的每个阶段都一样。

2.模型的限制和修正

前面阐释的布莱克-斯科尔斯模型，没有考虑提前行权或红利支付的可能性，两者都影响期权价值。已有的调整功能（虽不完善）能给价值提供部分修正。

支付红利降低了股票价格。因此，随着红利支付的增加，看涨期权价值变低而看跌期权价值走高。处理红利的一种方法是，评估期权有效期内标的资产所支付预期红利的现值，并从资产的价值里减去这个价值（在模型里以S表示）。因为在期权期限变长时，这个做法就变得不切实际了，所以我们提出一个替代方法。如果标的资产的红利收益率（y=红利/资产的当期价值）在期权期限内会保持不变，可以修改布莱克-斯科尔斯模型，考虑进红利问题：

式中：

从直觉的角度看，这种调整有两个影响。首先，为了考虑进由于红利支付而引起的资产价值下降，以红利收益率为贴现率，把资产的价值贴现到现在。其次，利率被红利收益率冲抵，以反映更低的股票持有成本（在复制组合里）。净效果是看涨期权价值的降低和看跌期权价值的上升（由于调整之故）。

布莱克-斯科尔斯模型的初衷是用于估值欧洲期权，而我们考虑的大多数期权是美国期权（它在到期前的任何时候都可以行权）。即便还未审视过估值模型的整个机理，但因为其具有提前行权的功能，美国期权和欧洲期权相比，应该至少具有等同的价值，但通常是具有更高的价值。对于布莱克-斯科尔斯模型而言，应对提前行权的可能性，有三个基本方法。第一个是继续使用未调整过的布莱克-斯科尔斯模型，并视其产生的价值为真实价值的基础或保守的评估值。第二个方法是依据每个潜在的行权日估值该期权。对于股票期权，这是从根本上要求依据每个除息日估值期权，并选择看涨期权评估值的最大值。第三种方法是采用二项式模型的修订版，考虑提前行权的可能性。

虽然很难评估二项式模型的每个时段的价格，但依据历史资料评估的方差，可计算二项式模型里预期价格的上下运动。例如，如果σ₂是股票价格的方差，可以按照下述方式评估其上下运动：

式中，u和d是二项式模型每单位时间价格的上下运动，T是期权的期限，而m则是期限内的时段数量。用u和d乘上每个时段的股票价格，得到上上下下的价格。然后，可以利用这些来估值标的资产。

布莱克-斯科尔斯模型的推导是建立在期权的行权不会影响标的资产的基础之上的。这对挂牌的股票期权可能如此，但对某些类型的期权却不是这样。例如，权证的行权会增加流通股的数量，会为公司带来新的现金，这两项都影响股票价值。^[2]相比于其他看涨期权，权证行权的净负效应（摊薄）会降低权证的价值。布莱克-斯科尔斯模型对股票价格摊薄的调整相当简单：针对该期权行权的预期摊薄影响调整股票价格。例如，在权证的情形下：