3.2　决策树

在某些估值中，所涉风险不仅是离散的，也是序贯的。换言之，为了使资产具有价值，它必须经过系列的检测。任何节点上的检测失败都会导致整体价值的丧失。例如，正在人类身上做临床试验的医疗药品就是这种案例。在美国，一种药要想在市场上出售，就必须通过美国食品药品管理局三阶段批准程序所设定的关口。在这三个阶段的任意关口的失败都会葬送该药的前途。决策树不仅允许我们考虑这些阶段性的风险，而且，使我们有机会针对每一阶段的结果，制定正确的应对措施。

3.2.1　决策树的分析步骤

理解决策树的第一步是分清根节点、决策节点、事件节点和终端节点。

●根节点代表决策树的起点：决策者面临着决策选择或一个不确定结果。这项任务的目的是评估一项风险性投资在这个阶段的价值所在。

●事件节点说的是一项冒险赌博的可能结果。一种药物能否通过美国食品药品管理局批准程序的第一阶段，就是一个很好的例子。我们必须基于我们今天已有的信息，推测出可能的结果及其发生的概率。

●决策节点是指决策者可能做的选择——在市场试销的结果知晓后，由试销市场走向全国市场。

●终端节点通常是指早先的冒险后果及其相关决策的最终结果。

思考一个很简单的例子。你可以选择获得20美元，或参与一项赌博：有50%的可能获得50美元，50%的可能赢得10美元。图3-1展示了用于这项赌博的决策树。

要关注决策树的关键要素。首先，只有事件节点代表不确定的结果并具有相关结果的概率。其次，决策节点是指选择。从纯预期价值的角度看，赌博的结果（30美元的预期价值）要好于有保障的20美元的收获；在下面一个分支的两个斜线意味着这条分支不会被选择。这个例子虽然很简单，但它内含了构建一个决策树的要素。

1）把分析分为不同的风险阶段进行。制作决策树的关键是划分将来你必须面对的风险阶段。在某些情形下，这很简单——如美国食品药品管理局的批准程序，因为它只有两个结果。或是药品通过批准，继续进行到下一阶段，或是就此为止。在其他的情形下，则会困难很多。例如，一个新型消费品的市场试销会内含数百个的潜在结果。这里，为了市场试销的成功，你需要创造离散类别。

2）在每个阶段，评估结果的发生概率。在定义完了每个阶段的风险和结果后，必须计算这些结果的发生概率。一个明确的要求是所有结果概率的加总必须是1。此外，分析师还必须考虑某一阶段结果的概率是否会受到早先阶段结果的影响。例如，如果市场试销的结果只是一个均值水平时，那么该产品在全国市场推广成功的概率会如何？

图　3-1　简单的决策树

3）定义决策节点。决策节点根植于决策树之中。在这些节点上，意味着你需要确定最佳的行为路径——基于你观察到的早期阶段的结果和将来的预期。在市场试销的例子中，试销结束时，你需要确定是否还要进行第二次市场试销工作，或是放弃这个产品，或是进入全国市场的推广。

4）在终端节点计算现金流和价值。在决策树流程中，下个程序是评估每个终端节点的最终现金流和价值结果。在某些情形下，这是一件很容易的事情。例如，试销产品的放弃，此时的工作仅是清算该产品在试销市场上所花的资金。在其他的情形下，如试销产品进入全国市场，这就更加困难，因为要想求得它的价值，你必须评估产品生命期内的预期现金流，并予以贴现。

5）沿决策树的后展路径，评估预期价值。在决策树分析中，最后的一个步骤是“向后打开”这棵树：沿着这棵树由前向后，分阶段计算资产的预期价值。如果遇到机会节点，其预期价值是按照所有可能结果的概率加权平均计算。如果是决策节点，预期价值是按每个分支计算，而且，会选择最高价值（作为最佳决策）。这个流程最重要的目的是评估这项资产或投资今天的预期价值。^[1]

决策树给我们带来两项关键产出。第一个是经过整个决策树流程的结晶：今天的预期价值。这个预期价值既融进了来自风险的潜在波动，也考虑到为应对这个风险，我们一路采取的应对行为。实际上，这类似于我们在上一章所阐述的调整过风险的价值。第二项产出是在终端节点的价值范畴——它应该涵盖这项投资的潜在风险。

例3-2　用决策树估值生物技术公司

为了例解决策树的相关步骤，我们将估值一家仅有一个产品的小型生物技术公司。它的产品是一剂治疗1型糖尿病的药，已经完成了临床前的试验，即将进入FDA批准流程的第一阶段。^[2]假设你得到了所有三个阶段的下述信息。

●第一阶段预期要花5000万美元，将涉及100位志愿者，以确定该药的安全性和服用剂量；这预期要花一年时间。成功完成第一阶段的几率为70%。

●在第二阶段，将会花两年的时间，在250位志愿者身上测试治疗糖尿病的有效性。这个阶段要花1亿美元，而要想继续走进下个阶段，该药必须在统计数据上对这种疾病显示出足够的疗效。该药能成功治疗1型糖尿病的概率仅为30%。该药能够成功治疗1型和2型糖尿病的概率仅为10%。仅能成功治疗2型糖尿病的概率也有10%。

●在第三阶段，实验将要拓展到4000名志愿者，以确定服用此药的长期影响。如果该药仅在1型或2型糖尿病患者身上做试验，这个阶段要持续4年，将花费2.5亿美元，成功的概率为80%。如果同时在两类患者身上做试验，这个阶段将持续4年，花费3亿美元，成功的概率为75%。

如果该药通过了所有三个流程，那么开发该药的成本和年度现金流如表3-4所示。

假设该公司的资本成本是10%。

我们现在有了绘制这种药品决策树的信息。我们首先绘制如图3-2所示的决策树，具体展示相关阶段、每阶段的现金流及其发生的概率。

图　3-2　药品开发决策树（亿美元）

该决策树展示各阶段的成功概率和及其现金流或边际现金流。由于经过这些阶段要花时间，时间价值效应必须计入每条路径的预期现金流。我们引进时间价值效应并计算每条路径现金流的累计现值（今天的）——采用10%的资本成本作为贴现率（见图3-3）。

图　3-3　终端节点现金流现值：药品研发树（亿美元）

注意：来自第三阶段后开发的现金流现值贴现了额外的7年（反映其经过这三个阶段所花的时间）。在这个流程的最后一个步骤里，我们计算预期价值，方法是从树前往树后的方向推导，评估每一个决策阶段的最佳行为（见图3-4）。

图　3-4　药品决策树的回算（亿美元）

在成功笼罩着不确定性的情况下，该药品今天的预期价值为5036万美元。这个价值反映了所有可能性的概率，显示了每个决策分支的次优且应该放弃的选择。

例如，一旦该药品通过了第三阶段，在所有的三种情形下（对1型、2型和两者兼治的治疗情形），药品的研发概率都胜过放弃概率。该决策树也提供了这些结果的范围：最差情形结果是作为1型和2型糖尿病治疗药品第三阶段的失败（按今天的美元价值是-3.663亿美元）；最佳情形结果是作为两型糖尿病治疗药品的批准和研发（按今天的美元价值是8.8705亿美元）。

最后一组分支中的一个因素似乎令人疑惑。把该药品只作为2型糖尿病疗效药研发的现值是负数（-9743万美元）。那么为什么该公司仍然要研发这个药品呢？因为在流程的后面阶段放弃该药品具有更高的净负现值（-3.2874亿美元）。看待这种情况的另一种方式是审视一下仅仅研发2型糖尿病药品的边际效应。一旦公司增加资源运作完三个阶段的试验，试验成本变成了沉淀成本，就不是一个决策因素了。^[3]第三阶段后来自研发该药的边际现金流就是4.51亿美元的正净现值（第7年的现金流）。

治疗2型糖尿病第7年研发药品的现值=-5+125（PVA，10%，15年）=4.15（亿美元）

在决策树的每个阶段，你的判断都建立在该连接点上的新增现金流情况之上的。往回审视决策树可以让你看到该药在流程的每个阶段的价值。

总之，这个决策树引导我们为这个糖尿病药以及拥有该药所有权的公司，评估5036万美元的价值。这个决策树为我们提供了有关我们应该赋予该公司（当它经过这些阶段时）价值的信息。例如，如果初始试验成功，该公司的价值会跃至9337万美元。在紧接着的试验里，如果该药能够治疗1型和2型糖尿病，那么该公司的价值会进一步地跳跃到5.7371亿美元。

[1]不少文章探讨能够产生一致性价值的这种向后打开流程的假设。尤其是，如果决策树是用于描述货币风险的话，那么这些风险应该是相互独立的。参阅Sarin，R. and P. Wakker，1994，“Folding Back in Decision Tree Analysis，”Management Science，v40，pp. 625 －628.

[2]在1型糖尿病里，胰腺无法生产胰岛素。病人通常是孩童，该疾病与饮食和活动无关；他们必须接受胰岛素才能生存。在2型糖尿病里，胰腺无法生产足够量的胰岛素。该疾病多见于老年人，有时可通过改变生活习惯和饮食予以控制。

[3]若仅把前两个阶段的成本视为沉淀成本将会更加精确，因为在第二阶段结束以前，公司知道该药品仅对2型糖尿病有效。即便是我们只是把前两个阶段的成本视为沉淀成本，从预期价值的角度，继续进入第三阶段还是意义的。

3.2.2　评估问题

决策树能处理某些类别的风险，但对其他的风险则无能为力。决策树特别适合于序贯性风险；一个很好的例子就是美国食品药品管理局阶段性批准流程。若干同时影响资产的风险很难通过决策树模型进行处理。^[1]如同情景分析一样，决策树通常是以离散的结果看待风险的。同样，这和美国食品药品管理局批准程序不冲突——它仅有两种可能的结果：成功或失败。其他大多数风险都有更多的结果，为了适应决策树的框架，我们需要对这些结果创建离散类别。

假设风险是序贯性的，能被归入离散的盒子里，那么我们就会面临一个难于解决的评估问题。特别是在我们需要评估每种结果的现金流及其相关概率时，更是如此。就药品研发的例子而言，我们需要评估每个阶段的成本及其成功的概率。当我们面对这些评估时，我们所具有的优势是我们可以借助实证数据，看看进入每个阶段的药品会以多大的可能性进入下个阶段，并了解与药品试验相关的历史成本。就成功而言，不同药品在第一阶段有着很大的差异——有的所需试验时间比其他的更长，而且，误差仍然会浸入决策树流程。

在很大程度上，一个决策树的预期价值取决于一个假设：我们在决策节点上严格按照规范行为。换言之，如果在市场试销失败了，最佳决策是放弃——预期价值应该基于这种假设计算。若经理们决定无视试销市场的失败，继续该产品的全力上市推广，那么这个流程的完整性和相关预期价值的合理性就会迅速分崩离析。

最后，当被估值公司价值完全依赖单个产品或资产时，决策树最有用。在例3-2阐述过的生物技术公司的估值中，我们假设它的整体价值都出自那个单一的糖尿病药品（其价值提取就是沿决策树路径进行）。如果我们假设该公司在未来还有其他潜在研究的药品，那么我们获取的估值就不太现实了。在那种情形下，这些新药会产生追加的价值。

[1]如果我们选择以决策树模型的方式处理这类风险，那么它们必须是相互独立的。换言之，连续性不应该是个问题。

3.2.3　风险调整型估值法和决策树

决策树是贴现现金流估值法的一种替代方式，还是它的一种附属方式？这是一个有趣的问题。有些分析师认为通过计入好坏结果的可能性，决策树已经是调整过了风险。他们进一步声称，用决策树评估现值使用的正确贴现率应该是无风险利率。他们还争辩道，采用调整过风险的贴现率，会双倍计入风险。除以下几个例外的情形，他们的理论都是错。

1.预期价值没有经过风险调整

看看这类决策树——我们通过探究现金流发生的可能结果及其发生概率，来评估这些预期现金流。我们获得的概率加权预期价值是没有调整过风险的。采用无风险利率的唯一理由是，植于不确定结果的风险是资产专属的风险，将会被分散掉。在那种情形下，调整过风险的贴现率会是无风险利率。在FDA药品研发的例子里，这就是在面临药品的批准风险时，我们对第一个7年采用无风险利率贴现现金流的理由。在第7年后，该分析就含有市场因素，此时调整过风险的利率会高于无风险利率。

2.双倍计入风险

在采用调整过风险的贴现率（通常设置较高，以反映较早阶段的失败可能）中，我们的确需要慎重，以确保我们在决策树评估中不要双倍计入风险。这种现象的一个常见的例子是风险投资的估值法。风险投资人用来估值创业公司的传统方法是：基于未来的预测利润及其倍数，评估一个股权退出价值，然后以一个目标利率贴现这个退出价值。例如，一家公司当期正在亏损，但预期在第5年获利1000万美元，如果假设它上市时的利润倍数为40，且其目标贴现率假设为35%，那么该公司今天的价值可以计算如下：

公司第5年的价值=第5年的利润×市盈率

=10000000×40=400000000（美元）

公司今天的价值=400000000/1.35⁵=89200000（美元）

但要注意：这个目标贴现率定得很高（35%），这考虑了家年幼公司能够历经磨难走到上市的难度。事实上，我们可以把这个事件构建成一个简单的决策树（见图3-5）。

图　3-5　评估一家创业公司的决策树

这里假设图3-5中的r是正确的贴现率——基于风险投资人在这个项目上所面临的风险。我们回到上述的例子，假设这个企业的贴现率为15%。如果风险投资人对该项目的评估值为8920万美元，那么我们可以求解该项目隐含的失败概率：

评估值=89200000=P×400000000/1.15⁵

求解该式中的P，我们评估的成功概率是44.85%。在决策树里有了这个概率评估值后，假设我们都采用了正确的贴现率，那么我们得到的该公司价值会和风险投资人得出的价值一样。在决策树评估中，把35%的目标利率作为贴现率，会得到一个非常低的价值，因为风险已经遭受了两次贴现。这样我们就可以理解，为什么在决策树模型中，评估生物技术药品的价值，采用高贴现率会低估那个药品。尤其是在贴现率已经反映了该药品可能无法商业化的概率的情况下，尤其如此。如果批准流程风险是药品特有的风险且可分散，这意味着用于决策树分析的贴现率应该是温和的，即便是对于无法通过批准流程可能性较高的药品，也是如此。

3.正确的贴现率

如果在决策树中使用的正确贴现率应该反映的是不可分散风险，那么在决策树的不同节点的贴现率是不同的——这不仅可能，而且是非常可能。例如，和市场试销的一般结果相比，在该阶段非同寻常的成功结果所产生的现金流，其可预测性更强。这会促使我们采用一个较低的贴现率估值后者，使用较高的贴现率估值前者。在药品研发的例子里，一种可能是，如果该药对两类糖尿病都有效的话，其预期现金流会比只能治疗一种糖尿病情形要更稳定。此时，8%的贴现率最适合于第一种情形的现金流，而12%的贴现率则更适合于第二种情形的现金流。

回顾一下上述讨论，决策树估值不是风险调整型估值法的替代方式。相反，它们可被视为是调整离散风险（难以计入预期现金流或调整过风险的贴现率）的一种不同的方式。