6.6　在帕斯卡三角上播放音乐

想很快知道几率是多少？帕斯卡三角是一个简单的数字布局，能够快速且容易地计算概率。这300年来它一直有效，所以我敢打赌，它对你也有效。

统计人员最常做的事就是计算概率，概率可以对于各种情况描述预期的结果。一个简单的例子是抛硬币。试想一下，你曾被要求对抛硬币的结果下注。有两个可能的结果，正面或反面，一次抛硬币，结果无论是正面还是反面，几率都是1/2。

如果你知道得到获胜结果的不同方法数以及可能的结果数，那么数学上计算就很容易。在抛硬币的例子中，只有一种方式能获得一个获胜的结果，并且只有两种可能的结果。我们进行多次硬币翻转，如果想要知道所有可能的结果数，以及这些组合有多少符合我们的获胜标准，那么这样的数学计算就稍微难了一点。例如，如果我想要在两次硬币翻转中连续出现两次正面，我可以列出所有可能的结果，确定使我获胜的结果数量，然后看我获胜的所有结果占据多大比例。这一比例就是获胜的几率。

但是，获胜的可能结果数往往比我们简单的掷硬币例子更复杂，因为可能有许多试验（掷骰子、购买彩票，或诸如此类）和许多不同的组合。例如，你可能想要弄清楚从一顶帽子中抽出或通过其他随机方法选择的物体中，不同元素的可能组合数量。

想象一下，你和亲戚共6人准备开车去机场，你们必须都坐一辆厢式货车过去。你并不偏好谁更多，所以你需要某个公平的方式来决定大家的位置。一同前往时，你会随机挑选两个名字坐在前排座位。

给我叔叔弗兰克的私人字条：是的，这个例子基于去年“不愉快的”感恩节。我们彼此谅解吧，至少我家这边如此，但我们认为如果你明年能把自己的车开过来就最好了。

现在，你需要知道你坐前排座位的几率，以及你可能与谁坐一起的几率。问题是计算坐前排座的亲戚有多少种不同的组合。对于这两种简单的赌注，如硬币翻转和生死攸关情况下的长途车旅行，你可以使用被称为帕斯卡三角的数字布局进行计算。

6.6.1　帕斯卡三角介绍

帕斯卡三角如图6-6所示。这种数字的布局有一些有趣的属性。下图显示它由10行组成，最底行有10个数字，但它可以扩展成无限多行变得无限大。往下走向的外边缘数都是1。临近的对角线从1开始，但是它们每往下一行，数字就增加1。

图6-6：帕斯卡三角

类似有趣的级数在整个三角中都能发现。注意，每个数字都是这个数字上面两个数字的总和：84=56+28，7=6+1，以此类推。但是，这些很酷的模式不是我们对三角感兴趣的原因。相反，我们要用它来计算各种结果的概率。

6.6.2　使用帕斯卡三角计算概率

因布莱兹·帕斯卡（Blaise Pascal，一个生活在17世纪，很聪明的早期概率理论贡献者）而命名的帕斯卡三角，已经利用了我们回答各种各样的问题所需要的计算。

虽然这种数字模式被称为帕斯卡三角，但发明者却不是帕斯卡，他本人也从未声称发明了它。帕斯卡的老师提出过类似的数字模式，同时期也有其他人在论著里提及。

存在一个通用公式可以确定特定类型的可能结果数。这个公式适用于恰好有两种可能结果时，因此，术语二项式系数就用来描述该公式的结果（二项式是指具有两个名字，或在统计意义上，具有两个结果）。为了确定给定数量的试验中可能结果的二项组合，可用这个计算公式：

可能的获胜组合数

能带入这个公式的可能范围值是帕斯卡图形上的坐标。方程中的n表示试验或事件的次数，表示在图中找哪一行。公式中的k告诉我们这一行的具体条目。沿着图形左边的那些数字1像是一个边界：它们算作0。因此，要使用三角，我们以0开始计数。

在这个公式中，一些数字后的感叹号表示阶乘，这反过来又意味着，你应该从这个数字倒计到1，并乘以所有倒计的这些数。例如，5的阶乘是5×4×3×2×1，即120。顺便说一下，根据规则，0!为1。

1. 评估翻转硬币结果的概率

下一步，我们解决稍微复杂一点的抛硬币问题，抛一枚硬币两次正好出现两次正面的几率可以使用三角来计算。

1.要找的那行由我们翻转硬币的数量决定：2。我们要数的那行的条目由我们想看到的正面的结果决定：2。对于我们掷硬币的例子，2次试验中出现2次正面，往下数两行至如下行。

1 2 1

2.然后，数两个条目到1。我们的答案是1，所以我们得到两个正面的机会有1次。

3.但是多少次机会里有1次呢？把你那行的数字相加，就得到了那个答案。1+2+1=4，所以我们的几率是1/4或25%。

三角也可以回答更复杂的问题。假设你想在6次硬币翻转中正好得到3个正面。

1.往下数6行（记得把三角顶部记为0）。你到了如下这行。

1 6 15 20 15 6 1

2.数3个数字你得到了20。6次硬币翻转，正好得到3个正面的不同方式有20种。

3.你会问，是多少可能性中的20种？对该行所有的值加和我们得到了64。64次中有20次，你会恰好得到3个正面（或3个反面）。概率大约是31%。

1. 评估一趟糟糕的自驾之旅的概率

另一种使用三角的方法是，看看以一定方式抽取的某种数量的元素有多少种可能组合。我们自驾之旅的例子关注从6人中抽取2人有多少可能组合。

一组中有6个要素，你将抽出其中2个并将其匹配起来。对于这个的问题，以及定义三角的二项式公式，把6个亲戚想象成n，要抽取的2个名字为k。

1.往下数6行然后跨过2个条目，你得到数字15。从6个人中抽取2个人，有15种可能的组合。

2.在这种情况下，你只对和某个特定的人坐在车前排的几率感兴趣。这是15种可能的组合中前排乘客的1种组合。因此，你和你讨厌的弗兰克叔叔或蒂莉婶婶，或任何人，坐在前排座椅上的概率仅有1/15。

6.6.3　生效原理

如果你真的利用二项式公式进行数学计算，那么三角中的数字会匹配你数学计算得到的值，但你会发现，三角还能回答其他问题。数字的模式、它们的级数，与其他确定概率时使用的公式都是一致的。

举例来说，6次硬币翻转总的可能翻转组合数，由累加三角中第六行的值来回答：64。你可以通过应用反转硬币后可能结果的通用公式来对其进行数学推导，求出这个值：2^翻转次数=2⁶=64。

至于你既会被选中为6人中的2人，同时和你一起坐前排的人又是其他特定人的其中一个（我们去机场的例子）的几率，三角表示是1/15。但你也可以通过下面的方式计算：

1.成为6人中选出的两人之一的几率=2/6=0.33；

2.从5个“其他”人中选出1个特定的人的几率=1/5=0.20；

3.两者同时发生的几率=0.33×0.20=0.066，或1/15。

所以，当你涉及的组合和排序看起来很复杂，有如此多的可能性使你头晕时，让帕斯卡三角舒缓的音乐给你混乱的大脑带来安宁。