5.4　信件传递的卡牌伎俩

按理说，洗好的纸牌应该是随机的。科学分析表明它实际上不是随机的，你可以充分利用卡牌分布的已知概率来对陌生人展现一个惊人的纸牌戏法。

想象一下，你在邮箱里收到一个厚厚的、神秘的信封。你没有将它交给最近的国家安全人员处理，而是打开了它，你在里面发现了一副普通的扑克牌以及下面一组说明：

1.切牌；

2.用交叠式洗牌法（在本Hack后面会定义）洗一次牌；

3.再次切牌；

4.再次使用交叠式洗牌法洗一次牌；

5.再次切牌；

6.取下卡牌顶部的那张牌，把它记下来，并将其随机放回卡牌里；

7.再次切牌；

8.重新洗牌；

9.再切牌一次；

10.把这副牌邮寄回附上的地址（在堪萨斯州的通加诺克西，或其他一些让人想起奇迹和奇思妙想的地方）。

你遵循这些说明（同时还戴着防护橡胶手套），把这副牌邮寄回去。大约一周过后，你收到一个小信封。里面正是你选择的那张卡！（也有可能是300美元的请求和预测你未来的邀约，此时的你只需扔掉那个邀约即可。）

令人惊异，是吗？不可能的，你说呢？混洗卡牌的已知可能分布使这变得很有可能，甚至像你这样的初出茅庐的统计学者也可以做到这一点，都不需要报名到霍格沃茨学校（Hogwarts）2 学习。

2《哈利·波特》里的魔法学校。——译者注

5.4.1　生效原理

从数学上来讲，大家已经熟知一副扑克牌各种类型的洗牌效果。虽然彻底的洗牌（如燕尾或交叠式洗牌，使卡牌的两半交织在一起）是为了真正把一副牌洗成完全不同于原有次序的新次序，但是即使经过多次切牌和洗牌，原始卡牌的部分序列，依然保持着原有的秩序。

统计学家已经分析了这些模式并把它们发表在学术期刊上。这工作类似于这样的开创性建议，即为了在下一轮手牌前获得扑克、黑桃或桥牌的最佳组合，应该洗正好7次牌。

想象一副以某种次序排列的扑克牌。一轮洗牌后，如果洗牌是完美的，我们仍然可以在混合分布的卡牌里发现原来的次序。事实上，现在的次序是两种原来次序的相互重叠，并且通过交替选牌，你可以重构原来所有的次序。

表5-5显示了一副扑克牌进行一次完美洗牌的前后情况。为高效起见，只显示了12张牌，但这些原则适用于一副完整的52张扑克牌。

表5-5：完美洗牌对卡牌分布的影响

如果知道这12张牌的开始顺序，你可以在新牌组里每隔一张进行查看，就能够相当容易地把它挑出来。这些子模式的特点是保持上升的序列：当你沿着卡牌顺序移动时，卡牌的面值在上升。如果卡牌以一个很长的上升序列（或者4组，因为有4种花色）开始，鸽尾洗牌也将保持这些上升序列，它们只是交织在一起而已。即使经过多次洗牌，鸽尾洗牌也将保持这些上升序列。

如果在洗牌和切牌过程中的任意时刻从卡牌中抽取一张牌，并有目的地插入卡牌的其他地方，和总体的上升格局序列相比，这会出现“出位”（out of place）的情况。当然，这也正是卡牌伎俩的说明所要求的，这也解释了你那神秘的魔法师（或者当你假定自己是这个角色的时候）是如何发现哪张牌被抽取了的。

对于表5-5所示的顺序，我们想象把方片A（原序列第1位）从卡牌的顶部移出并随机放置在卡牌中间的某处。比方说，方片A最终在方片4和方片10之间（在新分布的第4位和第10位之间）。从现在开始，它的顺序永久是错乱的，再怎么洗牌都不可能将其移动至原属的位置。

如果我们把一副扑克牌看做是一个无限循环，那么洗牌过程中的切牌不会影响整个序列。但是，非标准洗牌，比如将卡牌三等分切分，并在洗牌之前改变这三等分的顺序将会破坏序列。神奇的伎俩说明必须明确表示，卡牌应一次分成两堆。

当然，如果分析现实生活中玩扑克牌时会发生什么，就必须考虑人的影响，毕竟是人就会犯错。正如哲学家说的那样，“洗牌糟糕的是人类”。在一次完美鸽尾洗牌中，有些卡牌本应正好被一张卡牌所分离，但也许有些不可预期的因素，使这些卡牌被两张卡牌所分离，或可能仍然相邻并没有被分离。表5-6显示了一个更人性化的、不完美洗牌的可能结果。

表5-6：马虎的洗牌对卡牌分布的可能影响

这种实际洗牌中的随机性，不但产生一个困境，还创造了一个机会。困境是，现在不能准确识别哪张卡是乱序的，因为该序列不能被完全重建，魔术师必须依靠一点概率，这就给伎俩增加了一些风险。

当这个伎俩的观众意识到你不可能实现完美洗牌时，机会出现了。当你在这种随机不确定中，不管以何种方式选出那张卡牌，观众的困惑都会更大。

5.4.2　成功的概率

因为不知道卡牌乱序的确切性质，魔法师能够识别出顺序错乱的那张卡牌只是因为洗牌不够完美。此外，如果一张牌从卡牌顶部取出后又放回到卡牌中间，此时指令不再允许切牌或洗牌，那么这个伎俩更容易成功（只有一张卡是乱序的）。

哥伦比亚大学和哈佛大学的统计学家戴夫·拜耳（Dave Bayer）和佩尔西·戴康尼斯（Persi Diaconis），按照这种神奇伎俩所描述的方式混合了一副扑克牌，对洗过的扑克牌的可能结果做了数学上的探索。（想必任教于这些机构的教员都有很多空闲时间？）他们为识别一张错位的卡牌而开发出了一个数学公式，并进行了一百万次电脑模拟测试他们的“网络巫师”所选卡牌的准确性。他们的分析假定是完美的燕尾洗牌。他们发现，只洗几次牌时，这个伎俩表现得相当不错，但是随着允许越来越多次数的洗牌，成功的几率迅速下降。

表5-7显示了对52张牌进行不同次数的洗牌时成功的概率，也展示了如果允许一次以上的猜测，正确的卡牌被选中的几率。

表5-7：看似不可能的成功几率

当然，当人们考虑现实世界洗牌的随机误差时，成功的几率会小幅下滑，但相对的成功率仍然如表5-7所示。如果你像描述的那样执行这个伎俩——3次洗牌后猜1次，那么你猜测正确的几率大约是80%（考虑到糟糕的洗牌，实际正确的几率比估计的83.9%低一点）。

为了确保这个伎俩的实施，你可能需要至少3个人。那么，假设每个人的可能性为80%，你会让这3人中至少一人惊奇的几率增加至98.4%，这几乎是一个必然。如果你3次都错了，那就别再对这些人说话或写信，关闭你的邮箱，并专注于生活中更重要的事情。毕竟，如果辛勤工作，未来某天你有可能会进入哥伦比亚大学或哈佛大学，做真正重要的东西。

5.4.3　参阅

• 拜耳和戴康尼斯的研究出现在1992年《应用概率年鉴》（The Annals of Applied Probability）的第2期，294~313页。在那篇文章里，他们引述了两位魔法师的研究成果，这两位都是研究上升序列原理卡牌技巧的早期开发人员（如下所示）：

• Williams, C.O. (1912).“A card reading.”The Magician Monthly, 8, 67.

• Jordan, C.T. (1916).“Long distance mind reading.”The Sphinx, 15, 57. 这是本Hack所描述效果的依据。