4.15　知道你的极限

人并不总是能作出理性的决定。当预期回报巨大、赔率也公平的时候，即使是聪明的赌徒，有时也会拒绝下注。圣彼得堡悖论（St. Petersburg Paradox）给出了一个相当公平的赌博游戏示例，完全正常的统计学家很可能不玩这个游戏，只是因为他们是人。

对于精明的统计赌徒，标准的决策过程涉及以下步骤：计算一个假设赌注的平均回报和成本，然后确定是否可能收支平衡，能赚到很多钱则更好。虽然一个人能生成几十个关于是否应该玩游戏的统计分析，但人类的心理感觉有时会占据主导，人们会拒绝接受赌注，只是因为感觉不对。

4.15.1　圣彼得堡游戏

圣彼得堡游戏大概有300年的历史。1738年，丹尼尔·伯努利描述了游戏的参数。下面是一些规则。

1.你提前支付一定的费用给我。

2.抛硬币。如果正面朝上，你赢了，我会付给你2美元。

3.如果不是正面朝上，我们会再次抛硬币。如果这次正面出现，我会付给你22（4美元）。

4.假如正面依然没有出现，我们再次抛硬币。第三次抛硬币正面出现了，那我付你23（8美元）。

到目前为止，这听起来很不错，对你来说更为公平。但它会变得更好。我们不断抛硬币，直到正面出现。当正面最终出现时，我付给你2n美元，其中n是出现正面需抛硬币的次数。

至少从你的角度来看，这是个伟大的游戏。但这里有个要命的问题：你会为这个游戏支付多少钱？

圣彼得堡游戏以前可能并没有作为受欢迎的赌博游戏在俄罗斯的大街小巷流行，但当赌钱时，它就一直被用作思维如何处理概率的假设示例。它为早期统计学家分析“预期结果”在我们头脑中的运转原理，找到了理由。顺便说一下，关于这一内容的论文实际上是由圣彼得堡科学院发表的，因而得名。

决定你会出多少来玩游戏是个有趣的过程。作为聪明的统计学家，你当然会支付不到2美元的费用。即便没有得到更大回报的可能性，赌你会在第一次抛硬币时得到正面，也可以得到多于游戏投入的回报，这显然是一个不错的赌注，尝试一下吧。

您也可能会乐意支付2美元。你将有一半的时间赢回这2美元，而另一半的时间你会得到比这更多！这是一个可以保证你最终获胜的游戏，所以获胜不是问题。当你第一次没有得到正面时，你已经保证自己至少会赢4美元，甚至更多。

所以，也许你会支付4美元来玩这个游戏。当然，你的回报偶尔会非常大——8美元、16美元、32美元、64美元……理论上，回报可能接近无穷大。但是你会支付多少？这就是64美元的问题。

4.15.2　统计分析

一些社会科学研究人员认为，大多数人会花4美元来玩这个游戏，可能还会多一点。很少有人会出太多钱玩这个游戏。但是，从统计学角度分析，结果会是怎样的呢？你最多应该出多少钱？

好吧，我考虑上交我的统计粉丝俱乐部会员卡，因为我怕告诉你正确答案。由于涉及赌博，概率的规则建议人们应该不惜一切代价玩这个游戏。是的，一个统计学家会告诉你应不惜一切去玩这个游戏！只要成本没有达到无穷大，从理论上说，这就是一个好的赌注。

让我们算算。下表是前6次硬币翻转的回报：

预期收益是在所有可能的结果中，你会赢得的平均金额。对于单次抛掷，有两种结果：正面，你就赢了2美元；另一种可能性，反面，你就会得到0美元。平均支出为1美元，一次硬币抛掷（事实证明，对于任何次数的硬币抛掷）的预期收益是1美元。

如果你玩这个游戏64次，你只在第六次掷硬币中获得正面，但你将赢得64美元。64次中的32次，你只会赢得2美元。平均收益听起来较低：才1美元。但是偶尔会出现这种情况：很长一段时间内都没有出现正面，当正面终于出现时，你已经赢了很多钱。当你开始游戏时，你不知道它会持续多久，你也不知道它可能会持续很长时间（像彼得·杰克逊7的电影那么长）。

7《魔戒》的导演。——译者注

关于这一系列的投掷，以及几率随着奖金上升而以同样速率下降，有一些事情需要注意。

• 本表只显示了掷6次硬币的情况。不过，从理论上讲，投掷可以永远进行下去，一直不出现正面。
• 每掷一次硬币，奖金数额增加一倍，游戏中的投掷数量减半。
• “游戏比例”列的数值永远不会增加到1.0或100%，因为总是有一些偶然的机会，不管多么小，仍需要再掷一次。

我们的统计粉丝俱乐部会员决定是否玩赌博游戏的决策规则是：游戏的预期值是否大于玩的成本。预期值是通过把所有可能结果的预期回报相加计算出来的。

你应该记得每一个可能试验的预期收益为1美元。有无限数量的可能结果，因为硬币可能永远地不停地投掷，一直不出现正面。为了得到预期的价值，我们把这一系列的无穷的1美元相加，得到一个巨大的总和。对于这个游戏的期望值是无穷大的。因为当玩游戏的成本低于预期值时，你就应该玩这个游戏。只要玩这个游戏的成本还没达到无穷大，你就应该玩。

4.15.3　无效原因

当然，在现实生活中，人们不会为这样的游戏支付远超2美元的钱，即使他们知道所有的统计数据。没有人明确地知道为什么聪明的人为这样有前景的游戏付很多钱感到厌恶，但这里有一些理论能解释这一现象。

1. “无限”是很多

即使你在精神上接受，从长远来看比赛是公平的，玩很多、很多次的话偶尔也会得到很大的回报，但是“长远来看”是无限长的，这是一个相当长的时间。很少人有耐心或有足够多的钱来玩这样一个需要这么多耐心和费用的游戏。

1. 边际效用递减

这个问题的鼻祖伯努利认为，人们将金钱视为是有价值的，但这种观念不和金额成正比。换句话说，虽然16美元优于8美元，但16美元和8美元的相对价值，和128美元与64美元的相对价值，是不一样的。

因此，在某些时候，作为奖励的金钱无限翻倍不再有同样的意义。伯努利还相信，如果你有很多钱，和你有很少的钱相比，一个小赌注的意义对后者来说更大。（有点像那些腰缠万贯的卡通人物用百元大钞来点雪茄。）

1. 风险与报酬

人类往往倾向于风险规避。也就是说，它们会偶尔冒险以换取报酬，但他们希望这种风险和成功的几率相符。圣彼得堡游戏有获得巨奖的机会，这是事实，但和风险相比，这个机会可能被视作太小，即使是4美元的风险。

1. 无穷不存在

有些哲学家会说，人们不把无穷的概念视作具体存在。任何通过鼓吹回报无穷大以鼓励人们玩游戏的摊位，都不怎么引人注目。

这也许就是我不买彩票的原因。我不玩彩票，因为通过买彩票，我获胜的概率只增加了一点点。对于我来说，我中奖的概率是无限小，或非常接近无限小，以至于我不把获奖的可能视作现实。

4.15.4　参阅

• “明智地下注”[Hack #35]。
• 《斯坦福哲学百科全书》（Stanford Encyclopedia of Philosophy）中有关于圣彼得堡悖论的有趣且思虑周全的讨论。网址为：http://plato.stanford.edu/entries/paradox-stpetersburg。