4.8　好运玩牌

弗兰克叔叔花费很多时间在酒馆里玩骰子赢愚笨的酒吧注，还有冲女士们发出迷人的微笑，虽然这是事实，但他的生活比这丰富。比如，有时候他玩扑克，不玩骰子。

人们往往对不同组合牌出现可能性的理解水平自我感觉良好，尤其是卡牌玩家和扑克玩家。他们的经验已经告诉他们，一对、三条及同花等很少出现。但是，将这种直观知识运用到本游戏情境之外的其他卡牌问题是困难的。

我那精于统计的弗兰克叔叔知道这一点。有时候，弗兰克叔叔，我很抱歉地说，用他的统计知识作恶，不作善，他已经赢得了一批使用扑克牌的酒吧投注，并声称这帮他支付了研究生学费。我在此与大家分享，目的只是为了证明某些基本统计原则。我相信你会用新学到的知识取悦别人，打击犯罪，或赢得廉价的非酒精饮料。

4.8.1　获得小同花

在扑克中，同花是5张花色相同的牌。不过，对于我的叔叔弗兰克，不管他在什么地方，在他被要求离开前，很少有时间能发完所有的手牌。因此，弗兰克叔叔常基于他所谓的小同花（li'l flushes）下注。

1. 投注

一个小的同花（哎呀，对不起，我的意思是小同花）是任意两张相同花色的牌。弗兰克喜欢打一个赌，几乎总能赢，那就是在你手牌里发现两张相同花色的手牌。此外，由于时间限制，他的扑克手牌只有4张，而不是5张。

赌注是，你从一堆随机牌里发给我4张牌，我会得到至少两张同一花色的牌。虽然这似乎不太可能，但实际上4张牌花色都不同的几率更小。我算过，一手4张牌，花色不同的几率大约是11%。所以，得到一个小同花的几率大约是89%！

1. 生效原理

有不同的方式计算扑克牌手牌的概率。对于这个酒吧赌注，我用的方法是这样的：数出可能获胜手牌组合的数量，并和所有手牌组合的总数相比较。这是在“好运玩骰子”里使用[Hack #43]的方法。

为了计算4张牌代表4种不同花色，即它们之间没有两张牌同花的几率，我们先计算出可能的4张牌的组合数量。试想一下，任何第一张牌（有52种可能），这张牌与任何剩余的第二张牌（52×51），加上第三张牌（52×51×50）和第四张牌（52×51×50×49），你会得到共计6 497 400种4张手牌的不同组合。

接下来，想象4张手牌的前两张牌。它们花色相同的几率只有0.235 2（51张牌中依然还有12张是同一花色）。因此，在所有可能的4张手牌组合里，大约有150万的组合会在头两张牌里形成同花。它们不是同花的几率是0.764 8。这使得头两张牌是不同花色的可能数量是4 968 601。

这一数量中，有多少不会收到和前两张牌花色都不同的第三张牌？还剩余50张牌，50张牌中有26张有还没出现过的花色。所以，第三张牌和前两张花色都不相同的几率是26/50（52%）。

这使得前3张牌花色都不相同的组合数量变成2 583 673。现在，这个数字里，有多少会抽出第四张牌是第四种没出现的花色？剩下的49张牌中有13张代表了最终的第四种花色。剩下的手牌中26.53%的牌将和第四张牌花色一样，4种不同花色的组合数量达到了685 464。685 464除以可能的手牌组合总数，结果是0.105 5（685 464/6 497 400）。

4张手牌有4种不同花色的几率是11%。哎呀！顺便说一下，一些超级天才可以只使用相关比例，就能得到相同的结果，这也是我们在不同的计数阶段一直用的方法，根本不必计算：

4.8.2　寻找两副牌的匹配

你有一副扑克牌，我也有一副扑克牌。这两副牌都洗过了。如果我们一次把它们发完，即一次性将两副牌都发完，它们会有匹配吗？我的意思是，他们会完全匹配吗？相同的牌，例如，我们两个都同时出现方片J？

1. 投注

大多数人会说没有，或者至少它会偶尔发生，但一定不会太频繁。令人吃惊的是，当你发两副牌时，你会频繁发现至少一对，而不频繁发现倒是不寻常的。如果你进行这样的下注或进行很多次这项实验，在大多数情况下你将获得至少一对匹配。事实上，只有36.4%的几率你找不到一对匹配！

1. 生效原理

以下讲解如何从统计角度思考这个问题。因为牌被洗过，所以可以假定任何两张被翻转的牌代表的都是从两幅牌这个理论总体中抽取的随机样本。对于任何给定的一对牌，可以算出这对牌匹配的概率。因为你抽样52次，在这些抽样中得到匹配的几率会随着抽样次数的增加而提高。就像扔一对骰子得到7一样：在任意给定的一次投掷下，它不太可能，但随着投掷次数的增多，它变得非常可能了。

为了计算一系列结果中，命中某人希望结果的概率，我们先计算尝试若干次都没有得到希望结果的概率，这样数学运算会简单一点。对于任何给定的牌，该牌在另一副牌完全配对的几率是1∶52。不配对的几率是51∶52，或0.980 8。

但是，你不止一次尝试配对，你尝试了52次。那么，52次尝试都没得到一对匹配的概率是0.980 8的52次方。用数学语言表达就是0.980 852。

等一秒钟，我会在脑中计算（0.980 8乘以0.980 8乘以0.980 8，以此类推，52次结果约为0.364 3）。好吧，所以它不会发生的几率是0.364 3。为了得到它发生的几率，我们用1减去这个数字，得到0.635 7。

你会发现在两副牌中，约2/3的几率会至少有一对匹配！非常好。去赢免费的柠檬水吧。