3.1　看万物的形状

    自然界几乎所有的事物都以相同的方式分布。只要你能够测量事物，不管它是什么，允许分数变化的情况下，它就有一个明确清楚的“正态分布”。如果你知道这种正态曲线的形状细节，就能对其表现作出非常准确的预测。

    统计领域里有一些奇迹。至少有三种工具（或三种发现）是如此绝妙和神奇，以至于只要统计学的学生学到并开始理解它们的美，就会变得无比激动。

    好吧，我可能有点夸大事实，但是的确有三种极好的理解世界的工具：

    • 相关系数[Hack #11]；
    • 中心极限定理[Hack #2]；
    • 正态曲线。

    因为我们已经在其他Hack中讨论了前两个奇迹的使用，现在我们把时间花在理解第三个（正态曲线）奇迹的形状和用法上。我很乐意展示这个能表现整个世界的正态曲线、正态分布、钟形曲线，如图3-1所示。

    3.1　看万物的形状 - 图1

    图3-1：正态曲线

    3.1.1　应用正态曲线下的区域

    统计学家已经非常详尽地定义了正态曲线。使用微积分和现实世界几百年的数据收集这两种方法可以发现，它们在关于正态分布的确切形状上得到的结论完全相同。图3-2展示了正态曲线的重要特征。平均数在中间，越偏离中心，分数的空间越小。

    3.1　看万物的形状 - 图2

    图3-2：正态曲线下的区域

    虽然理论上正态曲线是无限宽的，但是平均数左右两侧的各三个标准差足以涵盖所有分数。

    3.1　看万物的形状 - 图3分布的标准差是每个分数离平均数的平均距离[Hack #2]。

    1. 预测测试成绩

    回想我之前作出的论断：你测量的任何事物都呈现为正态曲线。那么，言外之意就是，我们测量的任何事物的大部分分数靠近平均数，只有少部分分数远离平均数。测量足够多的人，你会偶然获得非常远离平均数的极端分数，但是这种分数非常罕见。获得特定分数的人群期望比例，随着分数远离平均数而变得越来越小。

    那么你参加的下个测试会有怎样的成绩呢？我不知道有关测试或是有关你的任何信息，但我愿意打赌说你会获得一个接近平均数的分数。你也许会获得高于平均数的分数或低于平均数的分数，但是正态曲线告诉我，你的分数可能会非常接近平均数。

    为了作出这类预测并对预测的准确性有十足的把握，你可以用已知的正态曲线来估计分数落入X轴上（图表的底部，水平部分）任意两点间的百分比。刻度上配对标准差点之间的分数百分比，如图3-2所示。百分比总和是100%，这是由于凑整导致的。记住，有些分数，虽然只有一小部分，但和平均数的距离超过三个标准差。

    下面是有关曲线的几个重要事实，你能够利用这些事实去预测表现。

    • 大约34%的分数落入平均数至平均数上方一个标准差内。看到图3-2中的阴影部分了吗？如果你拿一些墨水给正态曲线下方的整个区域上色，那你会在这块区域消耗掉34%的墨水。
    • 大约34%的分数落入平均数至平均数下方一个标准差内。
    • 大约14%的分数落入平均数上方的一个标准差至两个标准差范围内。
    • 大约2%的分数落入平均数下方两个标准差至三个标准差范围内。

    你同样可以组合这些百分比作出以下陈述，比如：

    • 大约68%的分数在平均数正负一个标准差范围内；
    • 大约50%的分数落入平均数下方。

    你能用这些已知的百分比去做预测和概率解释。我们可以这么描述正态曲线：分数落入曲线的给定区域的百分比，也可以说任意给定的测试参与者落入给定区域的可能性。

    • 下一次测试中，有2%的几率，你会得到高于平均数两个标准差的分数。
    • 在我们的职业技能测试中，测试申请人仅有16%的几率会得到低于平均数一个标准差的分数。
    1. 设定标准

    政策制定者划分表现水平等级时，依赖于这样一个假设：能力是正态分布的。他们选择有这样表现水平的人：有一定百分比能够胜任该工作。在制订录取政策或服务标准时，如果想奇迹般地提前知道会有多少人符合要求，正态分布是一个非常宝贵的工具。

    比如，一所拥有高学术水准的大学，也许要求考生在一项能力测试中，分数至少高于平均数一个标准差。这样的话，他们就确保只招收能力在前16%的人。

    同样地，美国特殊教育政策规定了学生在特殊教育状况资格测试（因此，是联邦政府和州拨款）上的分割分数（cut score）。分割分数是一个人必须高于（或低于）的特定分数。假设政策制定者只支付为2%的儿童设立的特殊教育项目和教员的预算，那他们会把分割分数设在平均数之下两个标准差处。对正态曲线的信任，使得他们能够计算出需要拨款的儿童数量。

    3.1.2　体会正态曲线之美

    为了体会正态分布的神奇，你可以经常建立自己的正态曲线。想象你测量了某件事物（比如态度、知识、身高或速度）。你有某个评分系统，分数允许变化（比如态度调查分数、SAT分数、英寸或每小时英里数）。因为你测量了很多人、很多建筑物或很多麻雀，所以你有很多的分数。现在，把这些分数放到一张图上，图中X轴表示从最低到最高的实际分数值，从左到右（或是从右到左，如果你喜欢的话）；Y轴（左侧垂直部分）代表分数群中每个值的相对频次。

    在这样一个图表中，线或点的高度代表特定值分数的相对比例。注意：在正态曲线上，最高点位于中间，最低点位于两端。中间的分数是平均分，也是最大众的分数。在正态曲线上，中位数等于平均数，也等于众数[Hack #21]。

    同样要注意，正态曲线是对称的：你可以将正态曲线对折，它的一边会完美地覆盖另一边。需要着重提及的正态曲线的另一个特征是：正态曲线是向两端无限延伸的。它是一条理论上的曲线，所以曲线的两端永远不会碰到底线。

    正态曲线是联系自然万物的普遍真理。它是完美平衡的。它是永恒的。它是不朽的。它看起来有点像一只恐龙，非常酷。