5.1　避免筋疲力尽

在电视真人秀节目Let's Make a Deal中，参赛者总是在3面窗帘之间进行选择。对于这些类型的情况，有种统计策略能帮你赢得别克汽车，而不是永远都吃不完的Rice-A-Roni 1。

1一种盒装食物，里面包含大米、意式细面和调料。——译者注

试想一下，如果你愿意，你和叔叔弗兰克一起旅行时正经过堪萨斯通加诺克西（Tonganoxie，Kansas）的未知区域。你们走到了一个岔路口，这个岔路口分出3条可行的路：A、B和C。你们不知道哪条岔路口通往目的地：传说中世界上最大的麻线球（在堪萨斯州的考克市）。一位年迈的探矿者和他的毛驴在十字路口休息。

“喂，老人家，”你说，“这条路通往世界上最大的麻线球吗？”

“嗯，”他说，“我知道，但我是不会告诉你的。不过，我可以告诉你其中有一条是正确的路。剩下两条是错误的，通向某些灾难（或者至少是年久失修的厕所）。前进吧，随你挑，时髦的城里人。你往前开，回头看我，我不会给你走对了还是走错了的暗示，但我会指向另外两条道路的其中一条。我指出的那条路是错误的。当然，你仍然不会知道你是否猜对了，但我保证，我指出另外两条路中的那条是错误的。”

你接受了这个陌生男人的建议（你有的选吗），让弗兰克叔叔这个比你经验丰富的赌徒挑选道路。他随机选了一条，你乐观地走向了3条路中的一条——假设是A。当你回头看时，好心的探矿者指向了其他两条道路的一条——假设是B。你马上踩刹车，车子猛然停了一下。你不顾弗兰克叔叔的反对，朝剩下的道路C前进，并坚信现在走的是正确的道路。

疯了，是吗？发烧把脑子烧晕了？不，你刚刚应用了统计方法来解决知名的蒙提霍尔问题（Monty Hall problem），并从3条路中选择了最有可能正确的一条路。难以置信，对吗？继续往下读，我的朋友，准备赢得比你最疯狂的梦想还大的财富吧。

在这种情况下，最好的策略是违背直觉且非常怪异的，以至于世界上最聪明的人也不认为它真的是好的甚至是最好的策略。但相信我，它是。

5.1.1　蒙提霍尔问题和真人秀策略

在我们的3条道路和探矿者的例子中，事实上，C是正确道路的几率是2/3（67%）。若要将此策略应用到更真实的情况中，想想真人秀节目中的选手或是任何游戏中的赌徒，这些游戏的奖品隐藏在盒子或门后。由于真人秀理论家和思维活跃的统计人员对其进行了深刻的探讨，这个问题在真人秀节目Let's Make a Deal中相当普遍（20世纪60年代至70年代是它的全盛时期），但它仍然能在如今的电视真人秀节目中看到。Let's Make a Deal的主持人是蒙提霍尔，这个问题以他的名字命名。

在真人秀情境下，这个问题是这样的。蒙提给你呈现三面窗帘。他知道每一个帘子后面是什么。他解释说，一面窗帘背后是辆新车，其他两面窗帘后面是不值钱的奖品，蒙提把它们称作zonk。（zonk往往指驴或巨大摇椅这类东西，没有任何真正用处。）他让你挑选一面窗帘，不管它后面是什么，你都将赢走它后面的东西。比方说，你挑了窗帘A。然后，他打开一个你未选择的窗帘，比如B，它后面有一个zonk。然后，他提供给你一个机会，你可以放弃原来的选择，转而去选剩下的窗帘C。你应该改变选择吗？

和3条道路那个问题一样，答案是肯定的，你应该改变选择。第一次听到这个答案时似乎感觉不太正确。但是，如果你想要提高赢得汽车的概率，你就应该改变选择。

5.1.2　为什么应该改变选择

想想你猜中窗帘的概率。我们假设它是一个随机的猜测——没有其他因素的干扰，比如，我注意到一面帘子动了，我认为它背后有一头驴在跳。

3面窗帘，只有一面帘子是正确答案，这意味着你有1/3的几率猜中，从而赢得汽车。这大约是33%。在第一次猜测时，没有额外的信息，你可能会错；事实上，你有2/3的几率会错。换句话说，有大约67%的几率，这辆车在你没有挑选的那两面窗帘的后面。

你知道另外两面窗帘中，其中一面的后方一定没有汽车，但这不会改变这辆车可能位于某面未被选择的窗帘后面的概率（67%）。记住，不管你选择哪一个，蒙提永远都会打开一面错误的窗帘。这辆车在B或C窗帘后面的概率为67%，这仍然正确，即使B被揭开后发现它后面没有汽车。67%的概率现在变成窗帘C了。这就是你为什么应该改变窗帘选择的原因。

如果给你机会，你可以把已选的窗帘换为另外两个未选的窗帘，你会立刻换，不是吗？这就是蒙提霍尔难题的本质所在。

为了打消你内心深处的怀疑，我们可能还需要一些数字支撑。看一下表5-1，它展示了游戏最开始3个选项的概率分解。你有1/3的几率猜中、2/3的几率选到不能获得大奖的窗帘。

表5-1：游戏开始时汽车所在位置的概率

表5-2以不同的方式显示了相同的概率分布，但它并没有改变问题的任何参数。

表5-2：另一种关于游戏开始时汽车所在位置的概率表述

表5-3显示了蒙提揭示你未选择窗帘之一（窗帘B）不是正确窗帘后的概率。67%的可能性现在转移到窗帘C上了。

表5-3：窗帘B被揭开后汽车所在位置的概率

在任何相似情况下，你都应该换窗帘。当然，你可能是错的，但如果你接受提供的交换机会，那么你就有一个更高的几率来赢得汽车，或其他任何你在玩的游戏的奖品。如果满足下列标准，这永远是最好的策略：

• 主持人知道每面帘子后是什么；
• 主持人揭开你未选择的窗帘之一，奖品不在这面窗帘后面；
• 你当初的选择是随机的。

即使这个解决方案的正确性不能立刻体现出来，也不要过于担心。真正聪明的人往往会关注两面尚未揭开的窗帘，并将新的概率看作50/50，因此，不管你是否更改选择，都没有关系。但是，要记住关键的一点：你最初挑到正确窗帘的几率为33.3%，不管你作出决策后发生了什么，这个几率都不会改变。虽然专家有时不同意这是思考此问题的最佳办法。但即使是像本章开头提到的你在经过通加诺克西时遇到的探矿者一样聪明的人，也不总是知道蒙提霍尔问题的正确答案。他赢得了那头驴，你怎么看？

争议

蒙提霍尔问题以及由此导致的通用真人秀策略，最初由Parade杂志的专栏作家玛丽莲·沃斯莎凡特（Marilyn Vos Savant）于1991年介绍给大众。因为她被称为“高IQ天才”，沃斯莎凡特回答读者的问题，有时甚至是脑筋急转弯问题。有人把我刚描述的问题发给了她，她发表了我在这里给出的答案。

显然，她收到了许多信件，有些信表达了笔者的愤怒。这些愤怒的信来自于统计学家、哲学家和声称她错误的人。在学术期刊里，甚至出版了关于她的回答是否正确的争议。我对争议的看法是：事实证明，大部分的争论集中在问题的关键部分——蒙提知道每扇门后面是什么，所以当他打开第一面窗帘时，他知道后面是zonk。否则，揭开一面窗帘不算作新信息，沃斯莎凡特给出的答案也值得商榷。对她答案的大部分批评忽略了原来出版问题的一部分。